Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to 2} \frac{x^{3} - x^{2} - x - 2}{2 x^{3} - 5 y^{2} + 5 y - 6}$

Bước 1

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $2$ .

$\frac{lim_{x \to 2} x^{3} - x^{2} - x - 2}{lim_{x \to 2} 2 x^{3} - 5 y^{2} + 5 y - 6}$

Bước 2

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $2$ .

$\frac{lim_{x \to 2} x^{3} - lim_{x \to 2} x^{2} - lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 2}{lim_{x \to 2} 2 x^{3} - 5 y^{2} + 5 y - 6}$

Bước 3

Đưa số mũ $3$ từ $x^{3}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{3} - lim_{x \to 2} x^{2} - lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 2}{lim_{x \to 2} 2 x^{3} - 5 y^{2} + 5 y - 6}$

Bước 4

Đưa số mũ $2$ từ $x^{2}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{3} - {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 2}{lim_{x \to 2} 2 x^{3} - 5 y^{2} + 5 y - 6}$

Bước 5

Tính giới hạn của $2$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $2$ .

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{3} - {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 2} 2 x^{3} - 5 y^{2} + 5 y - 6}$

Bước 6

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $2$ .

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{3} - {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 2} 2 x^{3} - lim_{x \to 2} 5 y^{2} + lim_{x \to 2} 5 y - lim_{x \to 2} 6}$

Bước 7

Chuyển số hạng $2$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{3} - {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2}{2 lim_{x \to 2} x^{3} - lim_{x \to 2} 5 y^{2} + lim_{x \to 2} 5 y - lim_{x \to 2} 6}$

Bước 8

Đưa số mũ $3$ từ $x^{3}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{3} - {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2}{2 {(lim_{x \to 2} x)}^{3} - lim_{x \to 2} 5 y^{2} + lim_{x \to 2} 5 y - lim_{x \to 2} 6}$

Bước 9

Tính giới hạn của $5 y^{2}$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $2$ .

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{3} - {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2}{2 {(lim_{x \to 2} x)}^{3} - 5 y^{2} + lim_{x \to 2} 5 y - lim_{x \to 2} 6}$

Bước 10

Tính giới hạn của $5 y$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $2$ .

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{3} - {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2}{2 {(lim_{x \to 2} x)}^{3} - 5 y^{2} + 5 y - lim_{x \to 2} 6}$

Bước 11

Tính giới hạn của $6$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $2$ .

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{3} - {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2}{2 {(lim_{x \to 2} x)}^{3} - 5 y^{2} + 5 y - 1 \cdot 6}$

Bước 12

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $2$ cho tất cả các lần xảy ra của $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $2$ cho $x$ .

$\frac{2^{3} - {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2}{2 {(lim_{x \to 2} x)}^{3} - 5 y^{2} + 5 y - 1 \cdot 6}$

Bước 12.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $2$ cho $x$ .

$\frac{2^{3} - 2^{2} - lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2}{2 {(lim_{x \to 2} x)}^{3} - 5 y^{2} + 5 y - 1 \cdot 6}$

Bước 12.3

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $2$ cho $x$ .

$\frac{2^{3} - 2^{2} - 2 - 1 \cdot 2}{2 {(lim_{x \to 2} x)}^{3} - 5 y^{2} + 5 y - 1 \cdot 6}$

Bước 12.4

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $2$ cho $x$ .

$\frac{2^{3} - 2^{2} - 2 - 1 \cdot 2}{2 \cdot 2^{3} - 5 y^{2} + 5 y - 1 \cdot 6}$

Bước 13

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $3$ .

$\frac{8 - 2^{2} - 2 - 1 \cdot 2}{2 \cdot 2^{3} - 5 y^{2} + 5 y - 1 \cdot 6}$

Bước 13.1.2

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{8 - 1 \cdot 4 - 2 - 1 \cdot 2}{2 \cdot 2^{3} - 5 y^{2} + 5 y - 1 \cdot 6}$

Bước 13.1.3

Nhân $- 1$ với $4$ .

$\frac{8 - 4 - 2 - 1 \cdot 2}{2 \cdot 2^{3} - 5 y^{2} + 5 y - 1 \cdot 6}$

Bước 13.1.4

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{8 - 4 - 2 - 2}{2 \cdot 2^{3} - 5 y^{2} + 5 y - 1 \cdot 6}$

Bước 13.1.5

Trừ $4$ khỏi $8$ .

$\frac{4 - 2 - 2}{2 \cdot 2^{3} - 5 y^{2} + 5 y - 1 \cdot 6}$

Bước 13.1.6

Trừ $2$ khỏi $4$ .

$\frac{2 - 2}{2 \cdot 2^{3} - 5 y^{2} + 5 y - 1 \cdot 6}$

Bước 13.1.7

Trừ $2$ khỏi $2$ .

$\frac{0}{2 \cdot 2^{3} - 5 y^{2} + 5 y - 1 \cdot 6}$

Bước 13.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.2.1

Nhân $2$ với $2^{3}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.2.1.1

Nhân $2$ với $2^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.2.1.1.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{0}{2^{1} \cdot 2^{3} - 5 y^{2} + 5 y - 1 \cdot 6}$

Bước 13.2.1.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{0}{2^{1 + 3} - 5 y^{2} + 5 y - 1 \cdot 6}$

Bước 13.2.1.2

Cộng $1$ và $3$ .

$\frac{0}{2^{4} - 5 y^{2} + 5 y - 1 \cdot 6}$

Bước 13.2.2

Nâng $2$ lên lũy thừa $4$ .

$\frac{0}{16 - 5 y^{2} + 5 y - 1 \cdot 6}$

Bước 13.2.3

Nhân $- 1$ với $6$ .

$\frac{0}{16 - 5 y^{2} + 5 y - 6}$

Bước 13.2.4

Trừ $6$ khỏi $16$ .

$\frac{0}{- 5 y^{2} + 5 y + 10}$

Bước 13.2.5

Viết lại $- 5 y^{2} + 5 y + 10$ ở dạng đã được phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.2.5.1

Đưa $5$ ra ngoài $- 5 y^{2} + 5 y + 10$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.2.5.1.1

Đưa $5$ ra ngoài $- 5 y^{2}$ .

$\frac{0}{5 (- y^{2}) + 5 y + 10}$

Bước 13.2.5.1.2

Đưa $5$ ra ngoài $5 y$ .

$\frac{0}{5 (- y^{2}) + 5 (y) + 10}$

Bước 13.2.5.1.3

Đưa $5$ ra ngoài $10$ .

$\frac{0}{5 (- y^{2}) + 5 y + 5 \cdot 2}$

Bước 13.2.5.1.4

Đưa $5$ ra ngoài $5 (- y^{2}) + 5 y$ .

$\frac{0}{5 (- y^{2} + y) + 5 \cdot 2}$

Bước 13.2.5.1.5

Đưa $5$ ra ngoài $5 (- y^{2} + y) + 5 \cdot 2$ .

$\frac{0}{5 (- y^{2} + y + 2)}$

Bước 13.2.5.2

Phân tích thành thừa số bằng cách nhóm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.2.5.2.1

Đối với đa thức có dạng $a x^{2} + b x + c$ , hãy viết lại số hạng ở giữa là tổng của hai số hạng có tích là $a \cdot c = - 1 \cdot 2 = - 2$ và có tổng là $b = 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.2.5.2.1.1

Nhân với $1$ .

$\frac{0}{5 (- y^{2} + 1 y + 2)}$

Bước 13.2.5.2.1.2

Viết lại $1$ ở dạng $- 1$ cộng $2$

$\frac{0}{5 (- y^{2} + (- 1 + 2) y + 2)}$

Bước 13.2.5.2.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{0}{5 (- y^{2} - 1 y + 2 y + 2)}$

Bước 13.2.5.2.2

Đưa ước số chung lớn nhất từ từng nhóm ra ngoài.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.2.5.2.2.1

Nhóm hai số hạng đầu tiên và hai số hạng cuối.

$\frac{0}{5 ((- y^{2} - 1 y) + 2 y + 2)}$

Bước 13.2.5.2.2.2

Đưa ước số chung lớn nhất (ƯCLN) từ từng nhóm ra ngoài.

$\frac{0}{5 (y (- y - 1) - 2 (- y - 1))}$

Bước 13.2.5.2.3

Phân tích đa thức thành thừa số bằng cách đưa ước số chung lớn nhất ra ngoài, $- y - 1$ .

$\frac{0}{5 ((- y - 1) (y - 2))}$

$\frac{0}{5 (- y - 1) (y - 2)}$

Bước 13.3

Triệt tiêu thừa số chung của $0$ và $5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.3.1

Đưa $5$ ra ngoài $0$ .

$\frac{5 (0)}{5 (- y - 1) (y - 2)}$

Bước 13.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.3.2.1

Đưa $5$ ra ngoài $5 (- y - 1) (y - 2)$ .

$\frac{5 (0)}{5 ((- y - 1) (y - 2))}$

Bước 13.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{5 \cdot 0}{5 ((- y - 1) (y - 2))}$

Bước 13.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{0}{(- y - 1) (y - 2)}$

Bước 13.4

Chia $0$ cho $(- y - 1) (y - 2)$ .

$0$