Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to - 2} \frac{\sqrt[3]{4 x - x^{3}}}{3 x^{2} \cdot (13 x) + 14}$

Bước 1

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $- 2$ .

$\frac{lim_{x \to - 2} \sqrt[3]{4 x - x^{3}}}{lim_{x \to - 2} 3 x^{2} \cdot (13 x) + 14}$

Bước 2

Di chuyển giới hạn vào dưới dấu căn.

$\frac{\sqrt[3]{lim_{x \to - 2} 4 x - x^{3}}}{lim_{x \to - 2} 3 x^{2} \cdot (13 x) + 14}$

Bước 3

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $- 2$ .

$\frac{\sqrt[3]{lim_{x \to - 2} 4 x - lim_{x \to - 2} x^{3}}}{lim_{x \to - 2} 3 x^{2} \cdot (13 x) + 14}$

Bước 4

Chuyển số hạng $4$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{\sqrt[3]{4 lim_{x \to - 2} x - lim_{x \to - 2} x^{3}}}{lim_{x \to - 2} 3 x^{2} \cdot (13 x) + 14}$

Bước 5

Đưa số mũ $3$ từ $x^{3}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$\frac{\sqrt[3]{4 lim_{x \to - 2} x - {(lim_{x \to - 2} x)}^{3}}}{lim_{x \to - 2} 3 x^{2} \cdot (13 x) + 14}$

Bước 6

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $- 2$ .

$\frac{\sqrt[3]{4 lim_{x \to - 2} x - {(lim_{x \to - 2} x)}^{3}}}{lim_{x \to - 2} 3 x^{2} \cdot 13 x + lim_{x \to - 2} 14}$

Bước 7

Chuyển số hạng $3 \cdot 13$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{\sqrt[3]{4 lim_{x \to - 2} x - {(lim_{x \to - 2} x)}^{3}}}{3 \cdot 13 lim_{x \to - 2} x^{2} x + lim_{x \to - 2} 14}$

Bước 8

Tách giới hạn bằng quy tắc tích của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $- 2$ .

$\frac{\sqrt[3]{4 lim_{x \to - 2} x - {(lim_{x \to - 2} x)}^{3}}}{3 \cdot 13 lim_{x \to - 2} x^{2} \cdot lim_{x \to - 2} x + lim_{x \to - 2} 14}$

Bước 9

Đưa số mũ $2$ từ $x^{2}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$\frac{\sqrt[3]{4 lim_{x \to - 2} x - {(lim_{x \to - 2} x)}^{3}}}{3 \cdot 13 {(lim_{x \to - 2} x)}^{2} \cdot lim_{x \to - 2} x + lim_{x \to - 2} 14}$

Bước 10

Tính giới hạn của $14$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $- 2$ .

$\frac{\sqrt[3]{4 lim_{x \to - 2} x - {(lim_{x \to - 2} x)}^{3}}}{3 \cdot 13 {(lim_{x \to - 2} x)}^{2} \cdot lim_{x \to - 2} x + 14}$

Bước 11

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $- 2$ cho tất cả các lần xảy ra của $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $- 2$ cho $x$ .

$\frac{\sqrt[3]{4 \cdot - 2 - {(lim_{x \to - 2} x)}^{3}}}{3 \cdot 13 {(lim_{x \to - 2} x)}^{2} \cdot lim_{x \to - 2} x + 14}$

Bước 11.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $- 2$ cho $x$ .

$\frac{\sqrt[3]{4 \cdot - 2 - {(- 2)}^{3}}}{3 \cdot 13 {(lim_{x \to - 2} x)}^{2} \cdot lim_{x \to - 2} x + 14}$

Bước 11.3

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $- 2$ cho $x$ .

$\frac{\sqrt[3]{4 \cdot - 2 - {(- 2)}^{3}}}{3 \cdot 13 {(- 2)}^{2} \cdot lim_{x \to - 2} x + 14}$

Bước 11.4

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $- 2$ cho $x$ .

$\frac{\sqrt[3]{4 \cdot - 2 - {(- 2)}^{3}}}{3 \cdot 13 {(- 2)}^{2} \cdot - 2 + 14}$

Bước 12

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.1

Nhân $4$ với $- 2$ .

$\frac{\sqrt[3]{- 8 - {(- 2)}^{3}}}{3 \cdot 13 {(- 2)}^{2} \cdot - 2 + 14}$

Bước 12.1.2

Nâng $- 2$ lên lũy thừa $3$ .

$\frac{\sqrt[3]{- 8 - - 8}}{3 \cdot 13 {(- 2)}^{2} \cdot - 2 + 14}$

Bước 12.1.3

Nhân $- 1$ với $- 8$ .

$\frac{\sqrt[3]{- 8 + 8}}{3 \cdot 13 {(- 2)}^{2} \cdot - 2 + 14}$

Bước 12.1.4

Cộng $- 8$ và $8$ .

$\frac{\sqrt[3]{0}}{3 \cdot 13 {(- 2)}^{2} \cdot - 2 + 14}$

Bước 12.1.5

Viết lại $0$ ở dạng $0^{3}$ .

$\frac{\sqrt[3]{0^{3}}}{3 \cdot 13 {(- 2)}^{2} \cdot - 2 + 14}$

Bước 12.1.6

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực.

$\frac{0}{3 \cdot 13 {(- 2)}^{2} \cdot - 2 + 14}$

Bước 12.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.1

Nhân ${(- 2)}^{2}$ với $- 2$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.1.1

Di chuyển $- 2$ .

$\frac{0}{3 \cdot 13 (- 2 {(- 2)}^{2}) + 14}$

Bước 12.2.1.2

Nhân $- 2$ với ${(- 2)}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.1.2.1

Nâng $- 2$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{0}{3 \cdot 13 ({(- 2)}^{1} {(- 2)}^{2}) + 14}$

Bước 12.2.1.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{0}{3 \cdot 13 {(- 2)}^{1 + 2} + 14}$

Bước 12.2.1.3

Cộng $1$ và $2$ .

$\frac{0}{3 \cdot 13 {(- 2)}^{3} + 14}$

Bước 12.2.2

Nhân $3$ với $13$ .

$\frac{0}{39 {(- 2)}^{3} + 14}$

Bước 12.2.3

Nâng $- 2$ lên lũy thừa $3$ .

$\frac{0}{39 \cdot - 8 + 14}$

Bước 12.2.4

Nhân $39$ với $- 8$ .

$\frac{0}{- 312 + 14}$

Bước 12.2.5

Cộng $- 312$ và $14$ .

$\frac{0}{- 298}$

Bước 12.3

Chia $0$ cho $- 298$ .

$0$