Giải tích Ví dụ

$y = - 4 \sin (x)$ , $y = \sin (2 x)$

Bước 1

Giải bằng phương pháp thay thế để tìm phần giao giữa hai đường cong.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Loại bỏ các vế bằng nhau của mỗi phương trình sau đó kết hợp.

$- 4 \sin (x) = \sin (2 x)$

Bước 1.2

Giải $- 4 \sin (x) = \sin (2 x)$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Trừ $\sin (2 x)$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- 4 \sin (x) - \sin (2 x) = 0$

Bước 1.2.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.1

Áp dụng đẳng thức góc nhân đôi cho sin.

$- 4 \sin (x) - (2 \sin (x) \cos (x)) = 0$

Bước 1.2.2.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$- 4 \sin (x) - 2 \sin (x) \cos (x) = 0$

Bước 1.2.3

Phân tích $- 4 \sin (x) - 2 \sin (x) \cos (x)$ thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.1

Đưa $2 \sin (x)$ ra ngoài $- 4 \sin (x) - 2 \sin (x) \cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.1.1

Đưa $2 \sin (x)$ ra ngoài $- 4 \sin (x)$ .

$2 \sin (x) \cdot - 2 - 2 \sin (x) \cos (x) = 0$

Bước 1.2.3.1.2

Đưa $2 \sin (x)$ ra ngoài $- 2 \sin (x) \cos (x)$ .

$2 \sin (x) \cdot - 2 + 2 \sin (x) (- 1 \cos (x)) = 0$

Bước 1.2.3.1.3

Đưa $2 \sin (x)$ ra ngoài $2 \sin (x) \cdot - 2 + 2 \sin (x) (- 1 \cos (x))$ .

$2 \sin (x) (- 2 - 1 \cos (x)) = 0$

Bước 1.2.3.2

Viết lại $- 1 \cos (x)$ ở dạng $- \cos (x)$ .

$2 \sin (x) (- 2 - \cos (x)) = 0$

Bước 1.2.4

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$\sin (x) = 0$

$- 2 - \cos (x) = 0 + y = \sin (2 x)$

Bước 1.2.5

Đặt $\sin (x)$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.5.1

Đặt $\sin (x)$ bằng với $0$ .

$\sin (x) = 0$

Bước 1.2.5.2

Giải $\sin (x) = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.5.2.1

Lấy nghịch đảo sin của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong hàm sin.

$x = \arcsin (0)$

Bước 1.2.5.2.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.5.2.2.1

Giá trị chính xác của $\arcsin (0)$ là $0$ .

$x = 0$

Bước 1.2.5.2.3

Hàm sin dương trong góc phần tư thứ nhất và thứ hai. Để tìm đáp án thứ hai, trừ góc tham chiếu khỏi $π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ hai.

$x = π - 0$

Bước 1.2.5.2.4

Trừ $0$ khỏi $π$ .

$x = π$

Bước 1.2.5.2.5

Tìm chu kỳ của $\sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.5.2.5.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Bước 1.2.5.2.5.2

Thay thế $b$ với $1$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Bước 1.2.5.2.5.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Bước 1.2.5.2.5.4

Chia $2 π$ cho $1$ .

$2 π$

Bước 1.2.5.2.6

Chu kỳ của hàm $\sin (x)$ là $2 π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $2 π$ radian theo cả hai hướng.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 1.2.6

Đặt $- 2 - \cos (x)$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.6.1

Đặt $- 2 - \cos (x)$ bằng với $0$ .

$- 2 - \cos (x) = 0$

Bước 1.2.6.2

Giải $- 2 - \cos (x) = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.6.2.1

Cộng $2$ cho cả hai vế của phương trình.

$- \cos (x) = 2$

Bước 1.2.6.2.2

Chia mỗi số hạng trong $- \cos (x) = 2$ cho $- 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.6.2.2.1

Chia mỗi số hạng trong $- \cos (x) = 2$ cho $- 1$ .

$\frac{- \cos (x)}{- 1} = \frac{2}{- 1}$

Bước 1.2.6.2.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.6.2.2.2.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{\cos (x)}{1} = \frac{2}{- 1}$

Bước 1.2.6.2.2.2.2

Chia $\cos (x)$ cho $1$ .

$\cos (x) = \frac{2}{- 1}$

Bước 1.2.6.2.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.6.2.2.3.1

Chia $2$ cho $- 1$ .

$\cos (x) = - 2$

Bước 1.2.6.2.3

Khoảng biến thiên của cosin là $- 1 \leq y \leq 1$ . Vì $- 2$ không nằm trong khoảng biến thiên này, nên không có đáp án.

No $s o l u t i o n + y = \sin (2 x)$

Bước 1.2.7

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $2 \sin (x) (- 2 - \cos (x)) = 0$ đúng.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 1.2.8

Hợp nhất các câu trả lời.

$x = π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 1.3

Tính $y$ khi $x = π n$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Thay $π n$ bằng $x$ .

$y = \sin (2 (π n))$

Bước 1.3.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$y = \sin (2 π n)$

Bước 1.4

Liệt kê tất cả các đáp án.

$y = \sin (2 π n), x = π n$

Bước 2

Vùng giữa các đường cong đã cho không bị giới hạn.

Vùng không có biên

Bước 3