Giải tích Ví dụ

$y = \ln (x)$ , $y = x^{2} - 2$

Bước 1

Giải bằng phương pháp thay thế để tìm phần giao giữa hai đường cong.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Loại bỏ các vế bằng nhau của mỗi phương trình sau đó kết hợp.

$\ln (x) = x^{2} - 2$

Bước 1.2

Vẽ đồ thị mỗi vế của phương trình. nghiệm là giá trị x của giao điểm.

$x \approx 0.13793482, 1.56446225 + y = x^{2} - 2$

Bước 1.3

Tính $y$ khi $x = 0.13793482$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Thay $0.13793482$ bằng $x$ .

$y = {(0.13793482)}^{2} - 2$

Bước 1.3.2

Thế $0.13793482$ vào $x$ trong $y = {(0.13793482)}^{2} - 2$ và giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$y = {0.13793482}^{2} - 2$

Bước 1.3.2.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$y = {(0.13793482)}^{2} - 2$

Bước 1.3.2.3

Rút gọn ${(0.13793482)}^{2} - 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.3.1

Nâng $0.13793482$ lên lũy thừa $2$ .

$y = 0.01902601 - 2$

Bước 1.3.2.3.2

Trừ $2$ khỏi $0.01902601$ .

$y = - 1.98097398$

Bước 1.4

Tính $y$ khi $x = 1.56446225$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Thay $1.56446225$ bằng $x$ .

$y = {(1.56446225)}^{2} - 2$

Bước 1.4.2

Thế $1.56446225$ vào $x$ trong $y = {(1.56446225)}^{2} - 2$ và giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.2.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$y = {1.56446225}^{2} - 2$

Bước 1.4.2.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$y = {(1.56446225)}^{2} - 2$

Bước 1.4.2.3

Rút gọn ${(1.56446225)}^{2} - 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.2.3.1

Nâng $1.56446225$ lên lũy thừa $2$ .

$y = 2.44754216 - 2$

Bước 1.4.2.3.2

Trừ $2$ khỏi $2.44754216$ .

$y = 0.44754216$

Bước 1.5

Đáp án cho hệ là tập hợp đầy đủ của các cặp có thứ tự cũng chính là các đáp án hợp lệ.

$(0.13793482, - 1.98097398)$

$(1.56446225, 0.44754216)$

$(0.13793482, - 1.98097398)$

$(1.56446225, 0.44754216)$

Bước 2

Diện tích của vùng giữa các đường cong được xác định bằng tích phân của đường cong trên trừ đi tích phân của đường cong dưới trên mỗi vùng. Các vùng được xác định bởi các giao điểm của các đường cong. Điều này có thể được thực hiện theo phương pháp đại số hoặc phương pháp vẽ đồ thị.

$A r e a = \int_{0.13793482}^{1.56446225} \ln (x) d x - \int_{0.13793482}^{1.56446225} x^{2} - 2 d x$

Bước 3

Lấy tích phân để tìm diện tích giữa $0.13793482$ và $1.56446225$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Kết hợp các tích phân thành một tích phân.

$\int_{0.13793482}^{1.56446225} \ln (x) - (x^{2} - 2) d x$

Bước 3.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\ln (x) - x^{2} - - 2$

Bước 3.2.2

Nhân $- 1$ với $- 2$ .

$\ln (x) - x^{2} + 2$

$\int_{0.13793482}^{1.56446225} \ln (x) - x^{2} + 2 d x$

Bước 3.3

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int_{0.13793482}^{1.56446225} \ln (x) d x + \int_{0.13793482}^{1.56446225} - x^{2} d x + \int_{0.13793482}^{1.56446225} 2 d x$

Bước 3.4

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = \ln (x)$ và $d v = 1$ .

$\ln (x) x]_{0.13793482}^{1.56446225} - \int_{0.13793482}^{1.56446225} x \frac{1}{x} d x + \int_{0.13793482}^{1.56446225} - x^{2} d x + \int_{0.13793482}^{1.56446225} 2 d x$

Bước 3.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Kết hợp $x$ và $\frac{1}{x}$ .

$\ln (x) x]_{0.13793482}^{1.56446225} - \int_{0.13793482}^{1.56446225} \frac{x}{x} d x + \int_{0.13793482}^{1.56446225} - x^{2} d x + \int_{0.13793482}^{1.56446225} 2 d x$

Bước 3.5.2

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\ln (x) x]_{0.13793482}^{1.56446225} - \int_{0.13793482}^{1.56446225} \frac{x}{x} d x + \int_{0.13793482}^{1.56446225} - x^{2} d x + \int_{0.13793482}^{1.56446225} 2 d x$

Bước 3.5.2.2

Viết lại biểu thức.

$\ln (x) x]_{0.13793482}^{1.56446225} - \int_{0.13793482}^{1.56446225} d x + \int_{0.13793482}^{1.56446225} - x^{2} d x + \int_{0.13793482}^{1.56446225} 2 d x$

Bước 3.6

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\ln (x) x]_{0.13793482}^{1.56446225} - (x]_{0.13793482}^{1.56446225}) + \int_{0.13793482}^{1.56446225} - x^{2} d x + \int_{0.13793482}^{1.56446225} 2 d x$

Bước 3.7

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$\ln (x) x]_{0.13793482}^{1.56446225} - (x]_{0.13793482}^{1.56446225}) - \int_{0.13793482}^{1.56446225} x^{2} d x + \int_{0.13793482}^{1.56446225} 2 d x$

Bước 3.8

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\ln (x) x]_{0.13793482}^{1.56446225} - (x]_{0.13793482}^{1.56446225}) - (\frac{1}{3} x^{3}]_{0.13793482}^{1.56446225}) + \int_{0.13793482}^{1.56446225} 2 d x$

Bước 3.9

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $x^{3}$ .

$\ln (x) x]_{0.13793482}^{1.56446225} - (x]_{0.13793482}^{1.56446225}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{0.13793482}^{1.56446225}) + \int_{0.13793482}^{1.56446225} 2 d x$

Bước 3.10

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\ln (x) x]_{0.13793482}^{1.56446225} - (x]_{0.13793482}^{1.56446225}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{0.13793482}^{1.56446225}) + 2 x]_{0.13793482}^{1.56446225}$

Bước 3.11

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.11.1

Kết hợp $\ln (x) x]_{0.13793482}^{1.56446225}$ và $2 x]_{0.13793482}^{1.56446225}$ .

$\ln (x) x + 2 x]_{0.13793482}^{1.56446225} - (x]_{0.13793482}^{1.56446225}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{0.13793482}^{1.56446225})$

Bước 3.11.2

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.11.2.1

Tính $\ln (x) x + 2 x$ tại $1.56446225$ và tại $0.13793482$ .

$(\ln (1.56446225) \cdot 1.56446225 + 2 \cdot 1.56446225) - (\ln (0.13793482) \cdot 0.13793482 + 2 \cdot 0.13793482) - (x]_{0.13793482}^{1.56446225}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{0.13793482}^{1.56446225})$

Bước 3.11.2.2

Tính $x$ tại $1.56446225$ và tại $0.13793482$ .

$(\ln (1.56446225) \cdot 1.56446225 + 2 \cdot 1.56446225) - (\ln (0.13793482) \cdot 0.13793482 + 2 \cdot 0.13793482) - ((1.56446225) - 0.13793482) - (\frac{x^{3}}{3}]_{0.13793482}^{1.56446225})$

Bước 3.11.2.3

Tính $\frac{x^{3}}{3}$ tại $1.56446225$ và tại $0.13793482$ .

$(\ln (1.56446225) \cdot 1.56446225 + 2 \cdot 1.56446225) - (\ln (0.13793482) \cdot 0.13793482 + 2 \cdot 0.13793482) - ((1.56446225) - 0.13793482) - ((\frac{{1.56446225}^{3}}{3}) - \frac{{0.13793482}^{3}}{3})$

Bước 3.11.2.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.11.2.4.1

Nhân $\ln (1.56446225)$ với $1.56446225$ .

$0.70016281 + 2 \cdot 1.56446225 - (\ln (0.13793482) \cdot 0.13793482 + 2 \cdot 0.13793482) - ((1.56446225) - 0.13793482) - ((\frac{{1.56446225}^{3}}{3}) - \frac{{0.13793482}^{3}}{3})$

Bước 3.11.2.4.2

Nhân $2$ với $1.56446225$ .

$0.70016281 + 3.12892451 - (\ln (0.13793482) \cdot 0.13793482 + 2 \cdot 0.13793482) - ((1.56446225) - 0.13793482) - ((\frac{{1.56446225}^{3}}{3}) - \frac{{0.13793482}^{3}}{3})$

Bước 3.11.2.4.3

Cộng $0.70016281$ và $3.12892451$ .

$3.82908733 - (\ln (0.13793482) \cdot 0.13793482 + 2 \cdot 0.13793482) - ((1.56446225) - 0.13793482) - ((\frac{{1.56446225}^{3}}{3}) - \frac{{0.13793482}^{3}}{3})$

Bước 3.11.2.4.4

Nhân $\ln (0.13793482)$ với $0.13793482$ .

$3.82908733 - (- 0.2732453 + 2 \cdot 0.13793482) - ((1.56446225) - 0.13793482) - ((\frac{{1.56446225}^{3}}{3}) - \frac{{0.13793482}^{3}}{3})$

Bước 3.11.2.4.5

Nhân $2$ với $0.13793482$ .

$3.82908733 - (- 0.2732453 + 0.27586965) - ((1.56446225) - 0.13793482) - ((\frac{{1.56446225}^{3}}{3}) - \frac{{0.13793482}^{3}}{3})$

Bước 3.11.2.4.6

Cộng $- 0.2732453$ và $0.27586965$ .

$3.82908733 - 1 \cdot 0.00262435 - ((1.56446225) - 0.13793482) - ((\frac{{1.56446225}^{3}}{3}) - \frac{{0.13793482}^{3}}{3})$

Bước 3.11.2.4.7

Nhân $- 1$ với $0.00262435$ .

$3.82908733 - 0.00262435 - ((1.56446225) - 0.13793482) - ((\frac{{1.56446225}^{3}}{3}) - \frac{{0.13793482}^{3}}{3})$

Bước 3.11.2.4.8

Trừ $0.00262435$ khỏi $3.82908733$ .

$3.82646298 - ((1.56446225) - 0.13793482) - ((\frac{{1.56446225}^{3}}{3}) - \frac{{0.13793482}^{3}}{3})$

Bước 3.11.2.4.9

Trừ $0.13793482$ khỏi $1.56446225$ .

$3.82646298 - 1 \cdot 1.42652743 - ((\frac{{1.56446225}^{3}}{3}) - \frac{{0.13793482}^{3}}{3})$

Bước 3.11.2.4.10

Nhân $- 1$ với $1.42652743$ .

$3.82646298 - 1.42652743 - ((\frac{{1.56446225}^{3}}{3}) - \frac{{0.13793482}^{3}}{3})$

Bước 3.11.2.4.11

Trừ $1.42652743$ khỏi $3.82646298$ .

$2.39993555 - ((\frac{{1.56446225}^{3}}{3}) - \frac{{0.13793482}^{3}}{3})$

Bước 3.11.2.4.12

Nâng $1.56446225$ lên lũy thừa $3$ .

$2.39993555 - (\frac{3.82908733}{3} - \frac{{0.13793482}^{3}}{3})$

Bước 3.11.2.4.13

Nâng $0.13793482$ lên lũy thừa $3$ .

$2.39993555 - (\frac{3.82908733}{3} - \frac{0.00262435}{3})$

Bước 3.11.2.4.14

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$2.39993555 - \frac{3.82908733 - 0.00262435}{3}$

Bước 3.11.2.4.15

Trừ $0.00262435$ khỏi $3.82908733$ .

$2.39993555 - \frac{3.82646298}{3}$

Bước 3.11.2.4.16

Để viết $2.39993555$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$2.39993555 \cdot \frac{3}{3} - \frac{3.82646298}{3}$

Bước 3.11.2.4.17

Kết hợp $2.39993555$ và $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2.39993555 \cdot 3}{3} - \frac{3.82646298}{3}$

Bước 3.11.2.4.18

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{2.39993555 \cdot 3 - 3.82646298}{3}$

Bước 3.11.2.4.19

Nhân $2.39993555$ với $3$ .

$\frac{7.19980666 - 3.82646298}{3}$

Bước 3.11.2.4.20

Trừ $3.82646298$ khỏi $7.19980666$ .

$\frac{3.37334367}{3}$

Bước 3.12

Chia $3.37334367$ cho $3$ .

$1.12444789$

Bước 4