Giải tích Ví dụ

$y = \cos (11 x)$ , $y = 0$ , $x = \frac{π}{22}$ , $x = \frac{π}{11}$

Bước 1

Giải bằng phương pháp thay thế để tìm phần giao giữa hai đường cong.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Loại bỏ các vế bằng nhau của mỗi phương trình sau đó kết hợp.

$\cos (11 x) = 0$

Bước 1.2

Giải $\cos (11 x) = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Lấy cosin nghịch đảo của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong cosin.

$11 x = \arccos (0)$

Bước 1.2.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.1

Giá trị chính xác của $\arccos (0)$ là $\frac{π}{2}$ .

$11 x = \frac{π}{2}$

Bước 1.2.3

Chia mỗi số hạng trong $11 x = \frac{π}{2}$ cho $11$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.1

Chia mỗi số hạng trong $11 x = \frac{π}{2}$ cho $11$ .

$\frac{11 x}{11} = \frac{\frac{π}{2}}{11}$

Bước 1.2.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $11$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{11 x}{11} = \frac{\frac{π}{2}}{11}$

Bước 1.2.3.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{2}}{11}$

Bước 1.2.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.3.1

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{11}$

Bước 1.2.3.3.2

Nhân $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{11}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.3.2.1

Nhân $\frac{π}{2}$ với $\frac{1}{11}$ .

$x = \frac{π}{2 \cdot 11}$

Bước 1.2.3.3.2.2

Nhân $2$ với $11$ .

$x = \frac{π}{22}$

Bước 1.2.4

Hàm cosin dương ở góc phần tư thứ nhất và thứ tư. Để tìm đáp án thứ hai, hãy trừ góc tham chiếu khỏi $2 π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ tư.

$11 x = 2 π - \frac{π}{2}$

Bước 1.2.5

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.5.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.5.1.1

Để viết $2 π$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$11 x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Bước 1.2.5.1.2

Kết hợp $2 π$ và $\frac{2}{2}$ .

$11 x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Bước 1.2.5.1.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$11 x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Bước 1.2.5.1.4

Nhân $2$ với $2$ .

$11 x = \frac{4 π - π}{2}$

Bước 1.2.5.1.5

Trừ $π$ khỏi $4 π$ .

$11 x = \frac{3 π}{2}$

Bước 1.2.5.2

Chia mỗi số hạng trong $11 x = \frac{3 π}{2}$ cho $11$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.5.2.1

Chia mỗi số hạng trong $11 x = \frac{3 π}{2}$ cho $11$ .

$\frac{11 x}{11} = \frac{\frac{3 π}{2}}{11}$

Bước 1.2.5.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.5.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $11$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.5.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{11 x}{11} = \frac{\frac{3 π}{2}}{11}$

Bước 1.2.5.2.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{\frac{3 π}{2}}{11}$

Bước 1.2.5.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.5.2.3.1

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{11}$

Bước 1.2.5.2.3.2

Nhân $\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{11}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.5.2.3.2.1

Nhân $\frac{3 π}{2}$ với $\frac{1}{11}$ .

$x = \frac{3 π}{2 \cdot 11}$

Bước 1.2.5.2.3.2.2

Nhân $2$ với $11$ .

$x = \frac{3 π}{22}$

Bước 1.2.6

Tìm chu kỳ của $\cos (11 x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.6.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Bước 1.2.6.2

Thay thế $b$ với $11$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{2 π}{| 11 |}$

Bước 1.2.6.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $11$ là $11$ .

$\frac{2 π}{11}$

Bước 1.2.7

Chu kỳ của hàm $\cos (11 x)$ là $\frac{2 π}{11}$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $\frac{2 π}{11}$ radian theo cả hai hướng.

$x = \frac{π}{22} + \frac{2 π n}{11}, \frac{3 π}{22} + \frac{2 π n}{11}$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 1.2.8

Hợp nhất các câu trả lời.

$x = \frac{π}{22} + \frac{π n}{11}$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 1.3

Thay $\frac{π}{22} + \frac{π n}{11}$ bằng $x$ .

$y = 0$

Bước 1.4

Liệt kê tất cả các đáp án.

$y = 0, x = \frac{π}{22} + \frac{π n}{11}$

Bước 2

Diện tích của vùng giữa các đường cong được xác định bằng tích phân của đường cong trên trừ đi tích phân của đường cong dưới trên mỗi vùng. Các vùng được xác định bởi các giao điểm của các đường cong. Điều này có thể được thực hiện theo phương pháp đại số hoặc phương pháp vẽ đồ thị.

$A r e a = \int_{\frac{π}{22}}^{\frac{π}{11}} 0 d x - \int_{\frac{π}{22}}^{\frac{π}{11}} \cos (11 x) d x$

Bước 3

Lấy tích phân để tìm diện tích giữa $\frac{π}{22}$ và $\frac{π}{11}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Kết hợp các tích phân thành một tích phân.

$\int_{\frac{π}{22}}^{\frac{π}{11}} 0 - (\cos (11 x)) d x$

Bước 3.2

Trừ $\cos (11 x)$ khỏi $0$ .

$\int_{\frac{π}{22}}^{\frac{π}{11}} - \cos (11 x) d x$

Bước 3.3

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$- \int_{\frac{π}{22}}^{\frac{π}{11}} \cos (11 x) d x$

Bước 3.4

Giả sử $u = 11 x$ . Sau đó $d u = 11 d x$ , nên $\frac{1}{11} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Hãy đặt $u = 11 x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1.1

Tính đạo hàm $11 x$ .

$\frac{d}{d x} [11 x]$

Bước 3.4.1.2

Vì $11$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $11 x$ đối với $x$ là $11 \frac{d}{d x} [x]$ .

$11 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 3.4.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$11 \cdot 1$

Bước 3.4.1.4

Nhân $11$ với $1$ .

$11$

Bước 3.4.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = 11 x$ .

$u_{lower} = 11 \frac{π}{22}$

Bước 3.4.3

Triệt tiêu thừa số chung $11$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.3.1

Đưa $11$ ra ngoài $22$ .

$u_{lower} = 11 \frac{π}{11 (2)}$

Bước 3.4.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$u_{lower} = 11 \frac{π}{11 \cdot 2}$

Bước 3.4.3.3

Viết lại biểu thức.

$u_{lower} = \frac{π}{2}$

Bước 3.4.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = 11 x$ .

$u_{upper} = 11 \frac{π}{11}$

Bước 3.4.5

Triệt tiêu thừa số chung $11$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$u_{upper} = 11 \frac{π}{11}$

Bước 3.4.5.2

Viết lại biểu thức.

$u_{upper} = π$

Bước 3.4.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = \frac{π}{2}$

$u_{upper} = π$

Bước 3.4.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$- \int_{\frac{π}{2}}^{π} \cos (u) \frac{1}{11} d u$

Bước 3.5

Kết hợp $\cos (u)$ và $\frac{1}{11}$ .

$- \int_{\frac{π}{2}}^{π} \frac{\cos (u)}{11} d u$

Bước 3.6

Vì $\frac{1}{11}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{11}$ ra khỏi tích phân.

$- (\frac{1}{11} \int_{\frac{π}{2}}^{π} \cos (u) d u)$

Bước 3.7

Tích phân của $\cos (u)$ đối với $u$ là $\sin (u)$ .

$- \frac{1}{11} \sin (u)]_{\frac{π}{2}}^{π}$

Bước 3.8

Tính $\sin (u)$ tại $π$ và tại $\frac{π}{2}$ .

$- \frac{1}{11} (\sin (π) - \sin (\frac{π}{2}))$

Bước 3.9

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.9.1

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{2})$ là $1$ .

$- \frac{1}{11} (\sin (π) - 1 \cdot 1)$

Bước 3.9.2

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- \frac{1}{11} (\sin (π) - 1)$

Bước 3.10

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.10.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.10.1.1

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất.

$- \frac{1}{11} (\sin (0) - 1)$

Bước 3.10.1.2

Giá trị chính xác của $\sin (0)$ là $0$ .

$- \frac{1}{11} (0 - 1)$

Bước 3.10.2

Trừ $1$ khỏi $0$ .

$- \frac{1}{11} \cdot - 1$

Bước 3.10.3

Nhân $- \frac{1}{11} \cdot - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.10.3.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$1 (\frac{1}{11})$

Bước 3.10.3.2

Nhân $\frac{1}{11}$ với $1$ .

$\frac{1}{11}$

Bước 4