Giải tích Ví dụ

$y = \sqrt{3 - 7 x}$ , $x = 0$

Bước 1

Giải bằng phương pháp thay thế để tìm phần giao giữa hai đường cong.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Loại bỏ các vế bằng nhau của mỗi phương trình sau đó kết hợp.

$\sqrt{3 - 7 x} = 0$

Bước 1.2

Giải $\sqrt{3 - 7 x} = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Để loại bỏ dấu căn ở vế trái của phương trình, ta bình phương cả hai vế của phương trình.

${\sqrt{3 - 7 x}}^{2} = 0^{2}$

Bước 1.2.2

Rút gọn mỗi vế của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{3 - 7 x}$ ở dạng ${(3 - 7 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(3 - 7 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Bước 1.2.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.2.1

Rút gọn ${({(3 - 7 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.2.1.1

Nhân các số mũ trong ${({(3 - 7 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.2.1.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(3 - 7 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Bước 1.2.2.2.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.2.1.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

${(3 - 7 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Bước 1.2.2.2.1.1.2.2

Viết lại biểu thức.

${(3 - 7 x)}^{1} = 0^{2}$

Bước 1.2.2.2.1.2

Rút gọn.

$3 - 7 x = 0^{2}$

Bước 1.2.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.3.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$3 - 7 x = 0$

Bước 1.2.3

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.1

Trừ $3$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- 7 x = - 3$

Bước 1.2.3.2

Chia mỗi số hạng trong $- 7 x = - 3$ cho $- 7$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.2.1

Chia mỗi số hạng trong $- 7 x = - 3$ cho $- 7$ .

$\frac{- 7 x}{- 7} = \frac{- 3}{- 7}$

Bước 1.2.3.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $- 7$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- 7 x}{- 7} = \frac{- 3}{- 7}$

Bước 1.2.3.2.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{- 3}{- 7}$

Bước 1.2.3.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.2.3.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$x = \frac{3}{7}$

Bước 1.3

Thay $\frac{3}{7}$ bằng $x$ .

$y = 0$

Bước 1.4

Đáp án cho hệ là tập hợp đầy đủ của các cặp có thứ tự cũng chính là các đáp án hợp lệ.

$(\frac{3}{7}, 0)$

Bước 2

Diện tích của vùng giữa các đường cong được xác định bằng tích phân của đường cong trên trừ đi tích phân của đường cong dưới trên mỗi vùng. Các vùng được xác định bởi các giao điểm của các đường cong. Điều này có thể được thực hiện theo phương pháp đại số hoặc phương pháp vẽ đồ thị.

$A r e a = \int_{0}^{\frac{3}{7}} \sqrt{3 - 7 x} d x - \int_{0}^{\frac{3}{7}} 0 d x$

Bước 3

Lấy tích phân để tìm diện tích giữa $0$ và $\frac{3}{7}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Kết hợp các tích phân thành một tích phân.

$\int_{0}^{\frac{3}{7}} \sqrt{3 - 7 x} - (0) d x$

Bước 3.2

Trừ $0$ khỏi $\sqrt{3 - 7 x}$ .

$\int_{0}^{\frac{3}{7}} \sqrt{3 - 7 x} d x$

Bước 3.3

Giả sử $u = 3 - 7 x$ . Sau đó $d u = - 7 d x$ , nên $- \frac{1}{7} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Hãy đặt $u = 3 - 7 x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.1

Tính đạo hàm $3 - 7 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 - 7 x]$

Bước 3.3.1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $3 - 7 x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 7 x]$ .

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

Bước 3.3.1.2.2

Vì $3$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $3$ đối với $x$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

Bước 3.3.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [- 7 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.3.1

Vì $- 7$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 7 x$ đối với $x$ là $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 7 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 3.3.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$0 - 7 \cdot 1$

Bước 3.3.1.3.3

Nhân $- 7$ với $1$ .

$0 - 7$

Bước 3.3.1.4

Trừ $7$ khỏi $0$ .

$- 7$

Bước 3.3.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = 3 - 7 x$ .

$u_{lower} = 3 - 7 \cdot 0$

Bước 3.3.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.3.1

Nhân $- 7$ với $0$ .

$u_{lower} = 3 + 0$

Bước 3.3.3.2

Cộng $3$ và $0$ .

$u_{lower} = 3$

Bước 3.3.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = 3 - 7 x$ .

$u_{upper} = 3 - 7 (\frac{3}{7})$

Bước 3.3.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.5.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.5.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $7$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.5.1.1.1

Đưa $7$ ra ngoài $- 7$ .

$u_{upper} = 3 + 7 (- 1) \frac{3}{7}$

Bước 3.3.5.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$u_{upper} = 3 + 7 \cdot - 1 \frac{3}{7}$

Bước 3.3.5.1.1.3

Viết lại biểu thức.

$u_{upper} = 3 - 1 \cdot 3$

Bước 3.3.5.1.2

Nhân $- 1$ với $3$ .

$u_{upper} = 3 - 3$

Bước 3.3.5.2

Trừ $3$ khỏi $3$ .

$u_{upper} = 0$

Bước 3.3.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 3$

$u_{upper} = 0$

Bước 3.3.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\int_{3}^{0} \sqrt{u} \frac{1}{- 7} d u$

Bước 3.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\int_{3}^{0} \sqrt{u} (- \frac{1}{7}) d u$

Bước 3.4.2

Kết hợp $\sqrt{u}$ và $\frac{1}{7}$ .

$\int_{3}^{0} - \frac{\sqrt{u}}{7} d u$

Bước 3.5

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$- \int_{3}^{0} \frac{\sqrt{u}}{7} d u$

Bước 3.6

Vì $\frac{1}{7}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{7}$ ra khỏi tích phân.

$- (\frac{1}{7} \int_{3}^{0} \sqrt{u} d u)$

Bước 3.7

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{u}$ ở dạng $u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{7} \int_{3}^{0} u^{\frac{1}{2}} d u$

Bước 3.8

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{\frac{1}{2}}$ đối với $u$ là $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{1}{7} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{3}^{0}$

Bước 3.9

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.9.1

Tính $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ tại $0$ và tại $3$ .

$- \frac{1}{7} ((\frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 3^{\frac{3}{2}})$

Bước 3.9.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.9.2.1

Viết lại $0$ ở dạng $0^{2}$ .

$- \frac{1}{7} (\frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 3^{\frac{3}{2}})$

Bước 3.9.2.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{7} (\frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 3^{\frac{3}{2}})$

Bước 3.9.2.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.9.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$- \frac{1}{7} (\frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 3^{\frac{3}{2}})$

Bước 3.9.2.3.2

Viết lại biểu thức.

$- \frac{1}{7} (\frac{2}{3} \cdot 0^{3} - \frac{2}{3} \cdot 3^{\frac{3}{2}})$

Bước 3.9.2.4

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$- \frac{1}{7} (\frac{2}{3} \cdot 0 - \frac{2}{3} \cdot 3^{\frac{3}{2}})$

Bước 3.9.2.5

Nhân $\frac{2}{3}$ với $0$ .

$- \frac{1}{7} (0 - \frac{2}{3} \cdot 3^{\frac{3}{2}})$

Bước 3.9.2.6

Kết hợp $3^{\frac{3}{2}}$ và $\frac{2}{3}$ .

$- \frac{1}{7} (0 - \frac{3^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{3})$

Bước 3.9.2.7

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $3^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{1}{7} (0 - \frac{2 \cdot 3^{\frac{3}{2}}}{3})$

Bước 3.9.2.8

Di chuyển $3^{1}$ sang tử số bằng quy tắc số mũ âm $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$- \frac{1}{7} (0 - (2 \cdot 3^{\frac{3}{2}} \cdot 3^{- 1}))$

Bước 3.9.2.9

Nhân $3^{\frac{3}{2}}$ với $3^{- 1}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.9.2.9.1

Di chuyển $3^{- 1}$ .

$- \frac{1}{7} (0 - (2 \cdot (3^{- 1} \cdot 3^{\frac{3}{2}})))$

Bước 3.9.2.9.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- \frac{1}{7} (0 - (2 \cdot 3^{- 1 + \frac{3}{2}}))$

Bước 3.9.2.9.3

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{7} (0 - (2 \cdot 3^{- 1 \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2}}))$

Bước 3.9.2.9.4

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{7} (0 - (2 \cdot 3^{\frac{- 1 \cdot 2}{2} + \frac{3}{2}}))$

Bước 3.9.2.9.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$- \frac{1}{7} (0 - (2 \cdot 3^{\frac{- 1 \cdot 2 + 3}{2}}))$

Bước 3.9.2.9.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.9.2.9.6.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$- \frac{1}{7} (0 - (2 \cdot 3^{\frac{- 2 + 3}{2}}))$

Bước 3.9.2.9.6.2

Cộng $- 2$ và $3$ .

$- \frac{1}{7} (0 - (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}))$

Bước 3.9.2.10

Nhân $2$ với $- 1$ .

$- \frac{1}{7} (0 - 2 \cdot 3^{\frac{1}{2}})$

Bước 3.9.2.11

Trừ $2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}$ khỏi $0$ .

$- \frac{1}{7} (- 2 \cdot 3^{\frac{1}{2}})$

Bước 3.9.2.12

Nhân $- 2$ với $- 1$ .

$2 (\frac{1}{7}) \cdot 3^{\frac{1}{2}}$

Bước 3.9.2.13

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{7}$ .

$\frac{2}{7} \cdot 3^{\frac{1}{2}}$

Bước 3.9.2.14

Kết hợp $\frac{2}{7}$ và $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}}{7}$

Bước 4