Giải tích Ví dụ

$y = x^{2}$ , $y = \sqrt[3]{x}$

Bước 1

Giải bằng phương pháp thay thế để tìm phần giao giữa hai đường cong.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Loại bỏ các vế bằng nhau của mỗi phương trình sau đó kết hợp.

$x^{2} = \sqrt[3]{x}$

Bước 1.2

Giải $x^{2} = \sqrt[3]{x}$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Vì căn thức nằm ở vế phải của phương trình, chuyển đổi các vế để nó ở vế trái của phương trình.

$\sqrt[3]{x} = x^{2}$

Bước 1.2.2

Trừ $x^{2}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\sqrt[3]{x} - x^{2} = 0$

Bước 1.2.3

Phân tích $\sqrt[3]{x} - x^{2}$ thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[3]{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{3}}$ .

$x^{\frac{1}{3}} - x^{2} = 0$

Bước 1.2.3.2

Đưa $x^{\frac{1}{3}}$ ra ngoài $x^{\frac{1}{3}} - x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.2.1

Nhân với $1$ .

$x^{\frac{1}{3}} \cdot 1 - x^{2} = 0$

Bước 1.2.3.2.2

Đưa $x^{\frac{1}{3}}$ ra ngoài $- x^{2}$ .

$x^{\frac{1}{3}} \cdot 1 + x^{\frac{1}{3}} (- x^{\frac{5}{3}}) = 0$

Bước 1.2.3.2.3

Đưa $x^{\frac{1}{3}}$ ra ngoài $x^{\frac{1}{3}} \cdot 1 + x^{\frac{1}{3}} (- x^{\frac{5}{3}})$ .

$x^{\frac{1}{3}} (1 - x^{\frac{5}{3}}) = 0$

Bước 1.2.4

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$x^{\frac{1}{3}} = 0$

$1 - x^{\frac{5}{3}} = 0 + y = \sqrt[3]{x}$

Bước 1.2.5

Đặt $x^{\frac{1}{3}}$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.5.1

Đặt $x^{\frac{1}{3}}$ bằng với $0$ .

$x^{\frac{1}{3}} = 0$

Bước 1.2.5.2

Giải $x^{\frac{1}{3}} = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.5.2.1

Lấy mũ lũy thừa $3$ hai vế để khử mũ phân số vế bên trái.

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Bước 1.2.5.2.2

Rút gọn biểu thức mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.5.2.2.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.5.2.2.1.1

Rút gọn ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.5.2.2.1.1.1

Nhân các số mũ trong ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.5.2.2.1.1.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Bước 1.2.5.2.2.1.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.5.2.2.1.1.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Bước 1.2.5.2.2.1.1.1.2.2

Viết lại biểu thức.

$x^{1} = 0^{3}$

Bước 1.2.5.2.2.1.1.2

Rút gọn.

$x = 0^{3}$

Bước 1.2.5.2.2.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.5.2.2.2.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$x = 0$

Bước 1.2.6

Đặt $1 - x^{\frac{5}{3}}$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.6.1

Đặt $1 - x^{\frac{5}{3}}$ bằng với $0$ .

$1 - x^{\frac{5}{3}} = 0$

Bước 1.2.6.2

Giải $1 - x^{\frac{5}{3}} = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.6.2.1

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- x^{\frac{5}{3}} = - 1$

Bước 1.2.6.2.2

Lấy mũ lũy thừa $\frac{3}{5}$ hai vế để khử mũ phân số vế bên trái.

${(- x^{\frac{5}{3}})}^{\frac{3}{5}} = {(- 1)}^{\frac{3}{5}}$

Bước 1.2.6.2.3

Rút gọn biểu thức mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.6.2.3.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.6.2.3.1.1

Rút gọn ${(- x^{\frac{5}{3}})}^{\frac{3}{5}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.6.2.3.1.1.1

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.6.2.3.1.1.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $- x^{\frac{5}{3}}$ .

${(- 1)}^{\frac{3}{5}} {(x^{\frac{5}{3}})}^{\frac{3}{5}} = {(- 1)}^{\frac{3}{5}}$

Bước 1.2.6.2.3.1.1.1.2

Viết lại $- 1$ ở dạng ${(- 1)}^{5}$ .

${({(- 1)}^{5})}^{\frac{3}{5}} {(x^{\frac{5}{3}})}^{\frac{3}{5}} = {(- 1)}^{\frac{3}{5}}$

Bước 1.2.6.2.3.1.1.1.3

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(- 1)}^{5 (\frac{3}{5})} {(x^{\frac{5}{3}})}^{\frac{3}{5}} = {(- 1)}^{\frac{3}{5}}$

Bước 1.2.6.2.3.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.6.2.3.1.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

${(- 1)}^{5 (\frac{3}{5})} {(x^{\frac{5}{3}})}^{\frac{3}{5}} = {(- 1)}^{\frac{3}{5}}$

Bước 1.2.6.2.3.1.1.2.2

Viết lại biểu thức.

${(- 1)}^{3} {(x^{\frac{5}{3}})}^{\frac{3}{5}} = {(- 1)}^{\frac{3}{5}}$

Bước 1.2.6.2.3.1.1.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.6.2.3.1.1.3.1

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $3$ .

$- {(x^{\frac{5}{3}})}^{\frac{3}{5}} = {(- 1)}^{\frac{3}{5}}$

Bước 1.2.6.2.3.1.1.3.2

Nhân các số mũ trong ${(x^{\frac{5}{3}})}^{\frac{3}{5}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.6.2.3.1.1.3.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- x^{\frac{5}{3} \cdot \frac{3}{5}} = {(- 1)}^{\frac{3}{5}}$

Bước 1.2.6.2.3.1.1.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.6.2.3.1.1.3.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$- x^{\frac{5}{3} \cdot \frac{3}{5}} = {(- 1)}^{\frac{3}{5}}$

Bước 1.2.6.2.3.1.1.3.2.2.2

Viết lại biểu thức.

$- x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 1)}^{\frac{3}{5}}$

Bước 1.2.6.2.3.1.1.3.2.3

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.6.2.3.1.1.3.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$- x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 1)}^{\frac{3}{5}}$

Bước 1.2.6.2.3.1.1.3.2.3.2

Viết lại biểu thức.

$- x^{1} = {(- 1)}^{\frac{3}{5}}$

Bước 1.2.6.2.3.1.1.4

Rút gọn.

$- x = {(- 1)}^{\frac{3}{5}}$

Bước 1.2.6.2.3.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.6.2.3.2.1

Rút gọn ${(- 1)}^{\frac{3}{5}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.6.2.3.2.1.1

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.6.2.3.2.1.1.1

Viết lại $- 1$ ở dạng ${(- 1)}^{5}$ .

$- x = {({(- 1)}^{5})}^{\frac{3}{5}}$

Bước 1.2.6.2.3.2.1.1.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- x = {(- 1)}^{5 (\frac{3}{5})}$

Bước 1.2.6.2.3.2.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.6.2.3.2.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$- x = {(- 1)}^{5 (\frac{3}{5})}$

Bước 1.2.6.2.3.2.1.2.2

Viết lại biểu thức.

$- x = {(- 1)}^{3}$

Bước 1.2.6.2.3.2.1.3

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $3$ .

$- x = - 1$

Bước 1.2.6.2.4

Chia mỗi số hạng trong $- x = - 1$ cho $- 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.6.2.4.1

Chia mỗi số hạng trong $- x = - 1$ cho $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Bước 1.2.6.2.4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.6.2.4.2.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Bước 1.2.6.2.4.2.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Bước 1.2.6.2.4.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.6.2.4.3.1

Chia $- 1$ cho $- 1$ .

$x = 1$

Bước 1.2.7

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $x^{\frac{1}{3}} (1 - x^{\frac{5}{3}}) = 0$ đúng.

$x = 0, 1$

Bước 1.3

Tính $y$ khi $x = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Thay $0$ bằng $x$ .

$y = \sqrt[3]{0}$

Bước 1.3.2

Rút gọn $\sqrt[3]{0}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$y = \sqrt[3]{0}$

Bước 1.3.2.2

Viết lại $0$ ở dạng $0^{3}$ .

$y = \sqrt[3]{0^{3}}$

Bước 1.3.2.3

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực.

$y = 0$

Bước 1.4

Tính $y$ khi $x = 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Thay $1$ bằng $x$ .

$y = \sqrt[3]{1}$

Bước 1.4.2

Rút gọn $\sqrt[3]{1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.2.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$y = \sqrt[3]{1}$

Bước 1.4.2.2

Bất cứ nghiệm nào của $1$ đều là $1$ .

$y = 1$

Bước 1.5

Đáp án cho hệ là tập hợp đầy đủ của các cặp có thứ tự cũng chính là các đáp án hợp lệ.

$(0, 0)$

$(1, 1)$

$(0, 0)$

$(1, 1)$

Bước 2

Diện tích của vùng giữa các đường cong được xác định bằng tích phân của đường cong trên trừ đi tích phân của đường cong dưới trên mỗi vùng. Các vùng được xác định bởi các giao điểm của các đường cong. Điều này có thể được thực hiện theo phương pháp đại số hoặc phương pháp vẽ đồ thị.

$A r e a = \int_{0}^{1} \sqrt[3]{x} d x - \int_{0}^{1} x^{2} d x$

Bước 3

Lấy tích phân để tìm diện tích giữa $0$ và $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Kết hợp các tích phân thành một tích phân.

$\int_{0}^{1} \sqrt[3]{x} - (x^{2}) d x$

Bước 3.2

Nhân $- 1$ với $x^{2}$ .

$\int_{0}^{1} \sqrt[3]{x} - x^{2} d x$

Bước 3.3

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int_{0}^{1} \sqrt[3]{x} d x + \int_{0}^{1} - x^{2} d x$

Bước 3.4

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[3]{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\int_{0}^{1} x^{\frac{1}{3}} d x + \int_{0}^{1} - x^{2} d x$

Bước 3.5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{\frac{1}{3}}$ đối với $x$ là $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - x^{2} d x$

Bước 3.6

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} x^{2} d x$

Bước 3.7

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}]_{0}^{1} - (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1})$

Bước 3.8

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.8.1

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $x^{3}$ .

$\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}]_{0}^{1} - (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1})$

Bước 3.8.2

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.8.2.1

Tính $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ tại $1$ và tại $0$ .

$(\frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}}) - \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}} - (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1})$

Bước 3.8.2.2

Tính $\frac{x^{3}}{3}$ tại $1$ và tại $0$ .

$\frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Bước 3.8.2.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.8.2.3.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{3}{4} \cdot 1 - \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Bước 3.8.2.3.2

Nhân $\frac{3}{4}$ với $1$ .

$\frac{3}{4} - \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Bước 3.8.2.3.3

Viết lại $0$ ở dạng $0^{3}$ .

$\frac{3}{4} - \frac{3}{4} \cdot {(0^{3})}^{\frac{4}{3}} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Bước 3.8.2.3.4

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{4} - \frac{3}{4} \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Bước 3.8.2.3.5

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.8.2.3.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3}{4} - \frac{3}{4} \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Bước 3.8.2.3.5.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{3}{4} - \frac{3}{4} \cdot 0^{4} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Bước 3.8.2.3.6

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$\frac{3}{4} - \frac{3}{4} \cdot 0 - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Bước 3.8.2.3.7

Nhân $0$ với $- 1$ .

$\frac{3}{4} + 0 (\frac{3}{4}) - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Bước 3.8.2.3.8

Nhân $0$ với $\frac{3}{4}$ .

$\frac{3}{4} + 0 - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Bước 3.8.2.3.9

Cộng $\frac{3}{4}$ và $0$ .

$\frac{3}{4} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Bước 3.8.2.3.10

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{3}{4} - (\frac{1}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Bước 3.8.2.3.11

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$\frac{3}{4} - (\frac{1}{3} - \frac{0}{3})$

Bước 3.8.2.3.12

Triệt tiêu thừa số chung của $0$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.8.2.3.12.1

Đưa $3$ ra ngoài $0$ .

$\frac{3}{4} - (\frac{1}{3} - \frac{3 (0)}{3})$

Bước 3.8.2.3.12.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.8.2.3.12.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$\frac{3}{4} - (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Bước 3.8.2.3.12.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3}{4} - (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Bước 3.8.2.3.12.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{3}{4} - (\frac{1}{3} - \frac{0}{1})$

Bước 3.8.2.3.12.2.4

Chia $0$ cho $1$ .

$\frac{3}{4} - (\frac{1}{3} - 0)$

Bước 3.8.2.3.13

Nhân $- 1$ với $0$ .

$\frac{3}{4} - (\frac{1}{3} + 0)$

Bước 3.8.2.3.14

Cộng $\frac{1}{3}$ và $0$ .

$\frac{3}{4} - \frac{1}{3}$

Bước 3.8.2.3.15

Để viết $\frac{3}{4}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3}$

Bước 3.8.2.3.16

Để viết $- \frac{1}{3}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{4}{4}$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{4}{4}$

Bước 3.8.2.3.17

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $12$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.8.2.3.17.1

Nhân $\frac{3}{4}$ với $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{4}{4}$

Bước 3.8.2.3.17.2

Nhân $4$ với $3$ .

$\frac{3 \cdot 3}{12} - \frac{1}{3} \cdot \frac{4}{4}$

Bước 3.8.2.3.17.3

Nhân $\frac{1}{3}$ với $\frac{4}{4}$ .

$\frac{3 \cdot 3}{12} - \frac{4}{3 \cdot 4}$

Bước 3.8.2.3.17.4

Nhân $3$ với $4$ .

$\frac{3 \cdot 3}{12} - \frac{4}{12}$

Bước 3.8.2.3.18

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{3 \cdot 3 - 4}{12}$

Bước 3.8.2.3.19

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.8.2.3.19.1

Nhân $3$ với $3$ .

$\frac{9 - 4}{12}$

Bước 3.8.2.3.19.2

Trừ $4$ khỏi $9$ .

$\frac{5}{12}$

Bước 4