Giải tích Ví dụ

$y = x^{\frac{4}{3}}$ , $y = 2 x^{\frac{1}{3}}$

Bước 1

Giải bằng phương pháp thay thế để tìm phần giao giữa hai đường cong.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Loại bỏ các vế bằng nhau của mỗi phương trình sau đó kết hợp.

$x^{\frac{4}{3}} = 2 x^{\frac{1}{3}}$

Bước 1.2

Giải $x^{\frac{4}{3}} = 2 x^{\frac{1}{3}}$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Loại bỏ các số mũ phân số bằng cách nhân cả hai số mũ với MCNN.

${(x^{\frac{4}{3}})}^{3} = {(2 x^{\frac{1}{3}})}^{3}$

Bước 1.2.2

Nhân các số mũ trong ${(x^{\frac{4}{3}})}^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{4}{3} \cdot 3} = {(2 x^{\frac{1}{3}})}^{3}$

Bước 1.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$x^{\frac{4}{3} \cdot 3} = {(2 x^{\frac{1}{3}})}^{3}$

Bước 1.2.2.2.2

Viết lại biểu thức.

$x^{4} = {(2 x^{\frac{1}{3}})}^{3}$

Bước 1.2.3

Rút gọn ${(2 x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $2 x^{\frac{1}{3}}$ .

$x^{4} = 2^{3} {(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$

Bước 1.2.3.2

Nâng $2$ lên lũy thừa $3$ .

$x^{4} = 8 {(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$

Bước 1.2.3.3

Nhân các số mũ trong ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{4} = 8 x^{\frac{1}{3} \cdot 3}$

Bước 1.2.3.3.2

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$x^{4} = 8 x^{\frac{1}{3} \cdot 3}$

Bước 1.2.3.3.2.2

Viết lại biểu thức.

$x^{4} = 8 x^{1}$

Bước 1.2.3.4

Rút gọn.

$x^{4} = 8 x$

Bước 1.2.4

Trừ $8 x$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x^{4} - 8 x = 0$

Bước 1.2.5

Phân tích vế trái của phương trình thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.5.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{4} - 8 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.5.1.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{4}$ .

$x \cdot x^{3} - 8 x = 0$

Bước 1.2.5.1.2

Đưa $x$ ra ngoài $- 8 x$ .

$x \cdot x^{3} + x \cdot - 8 = 0$

Bước 1.2.5.1.3

Đưa $x$ ra ngoài $x \cdot x^{3} + x \cdot - 8$ .

$x (x^{3} - 8) = 0$

Bước 1.2.5.2

Viết lại $8$ ở dạng $2^{3}$ .

$x (x^{3} - 2^{3}) = 0$

Bước 1.2.5.3

Vì cả hai số hạng đều là các số lập phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai lập phương, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ trong đó $a = x$ và $b = 2$ .

$x ((x - 2) (x^{2} + x \cdot 2 + 2^{2})) = 0$

Bước 1.2.5.4

Phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.5.4.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.5.4.1.1

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $x$ .

$x ((x - 2) (x^{2} + 2 x + 2^{2})) = 0$

Bước 1.2.5.4.1.2

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$x ((x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)) = 0$

Bước 1.2.5.4.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn không cần thiết.

$x (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) = 0$

Bước 1.2.6

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$x = 0$

$x - 2 = 0$

$x^{2} + 2 x + 4 = 0 + y = 2 x^{\frac{1}{3}}$

Bước 1.2.7

Đặt $x$ bằng với $0$ .

$x = 0$

Bước 1.2.8

Đặt $x - 2$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.8.1

Đặt $x - 2$ bằng với $0$ .

$x - 2 = 0$

Bước 1.2.8.2

Cộng $2$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 2$

Bước 1.2.9

Đặt $x^{2} + 2 x + 4$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.9.1

Đặt $x^{2} + 2 x + 4$ bằng với $0$ .

$x^{2} + 2 x + 4 = 0$

Bước 1.2.9.2

Giải $x^{2} + 2 x + 4 = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.9.2.1

Sử dụng công thức bậc hai để tìm các đáp án.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a} + y = 2 x^{\frac{1}{3}}$

Bước 1.2.9.2.2

Thay các giá trị $a = 1$ , $b = 2$ , và $c = 4$ vào công thức bậc hai và giải tìm $x$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 4)}}{2 \cdot 1} + y = 2 x^{\frac{1}{3}}$

Bước 1.2.9.2.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.9.2.3.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.9.2.3.1.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.9.2.3.1.2

Nhân $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.9.2.3.1.2.1

Nhân $- 4$ với $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.9.2.3.1.2.2

Nhân $- 4$ với $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.9.2.3.1.3

Trừ $16$ khỏi $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.9.2.3.1.4

Viết lại $- 12$ ở dạng $- 1 (12)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.9.2.3.1.5

Viết lại $\sqrt{- 1 (12)}$ ở dạng $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.9.2.3.1.6

Viết lại $\sqrt{- 1}$ ở dạng $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.9.2.3.1.7

Viết lại $12$ ở dạng $2^{2} \cdot 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.9.2.3.1.7.1

Đưa $4$ ra ngoài $12$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.9.2.3.1.7.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.9.2.3.1.8

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.9.2.3.1.9

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.9.2.3.2

Nhân $2$ với $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Bước 1.2.9.2.3.3

Rút gọn $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

Bước 1.2.9.2.4

Rút gọn biểu thức để giải tìm phần $+$ của $\pm$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.9.2.4.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.9.2.4.1.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.9.2.4.1.2

Nhân $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.9.2.4.1.2.1

Nhân $- 4$ với $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.9.2.4.1.2.2

Nhân $- 4$ với $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.9.2.4.1.3

Trừ $16$ khỏi $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.9.2.4.1.4

Viết lại $- 12$ ở dạng $- 1 (12)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.9.2.4.1.5

Viết lại $\sqrt{- 1 (12)}$ ở dạng $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.9.2.4.1.6

Viết lại $\sqrt{- 1}$ ở dạng $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.9.2.4.1.7

Viết lại $12$ ở dạng $2^{2} \cdot 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.9.2.4.1.7.1

Đưa $4$ ra ngoài $12$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.9.2.4.1.7.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.9.2.4.1.8

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.9.2.4.1.9

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.9.2.4.2

Nhân $2$ với $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Bước 1.2.9.2.4.3

Rút gọn $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

Bước 1.2.9.2.4.4

Chuyển đổi $\pm$ thành $+$ .

$x = - 1 + i \sqrt{3}$

Bước 1.2.9.2.5

Rút gọn biểu thức để giải tìm phần $-$ của $\pm$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.9.2.5.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.9.2.5.1.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.9.2.5.1.2

Nhân $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.9.2.5.1.2.1

Nhân $- 4$ với $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.9.2.5.1.2.2

Nhân $- 4$ với $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.9.2.5.1.3

Trừ $16$ khỏi $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.9.2.5.1.4

Viết lại $- 12$ ở dạng $- 1 (12)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.9.2.5.1.5

Viết lại $\sqrt{- 1 (12)}$ ở dạng $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.9.2.5.1.6

Viết lại $\sqrt{- 1}$ ở dạng $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.9.2.5.1.7

Viết lại $12$ ở dạng $2^{2} \cdot 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.9.2.5.1.7.1

Đưa $4$ ra ngoài $12$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.9.2.5.1.7.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.9.2.5.1.8

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.9.2.5.1.9

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.9.2.5.2

Nhân $2$ với $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Bước 1.2.9.2.5.3

Rút gọn $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

Bước 1.2.9.2.5.4

Chuyển đổi $\pm$ thành $-$ .

$x = - 1 - i \sqrt{3}$

Bước 1.2.9.2.6

Câu trả lời cuối cùng là sự kết hợp của cả hai đáp án.

$x = - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

Bước 1.2.10

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $x (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) = 0$ đúng.

$x = 0, 2, - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

Bước 1.3

Tính $y$ khi $x = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Thay $0$ bằng $x$ .

$y = 2 {(0)}^{\frac{1}{3}}$

Bước 1.3.2

Thế $0$ vào $x$ trong $y = 2 {(0)}^{\frac{1}{3}}$ và giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$y = 2 \cdot 0^{\frac{1}{3}}$

Bước 1.3.2.2

Rút gọn $2 \cdot 0^{\frac{1}{3}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.2.1

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.2.1.1

Viết lại $0$ ở dạng $0^{3}$ .

$y = 2 \cdot {(0^{3})}^{\frac{1}{3}}$

Bước 1.3.2.2.1.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = 2 \cdot 0^{3 (\frac{1}{3})}$

Bước 1.3.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y = 2 \cdot 0^{3 (\frac{1}{3})}$

Bước 1.3.2.2.2.2

Viết lại biểu thức.

$y = 2 \cdot 0^{1}$

Bước 1.3.2.2.3

Tính số mũ.

$y = 2 \cdot 0$

Bước 1.3.2.2.4

Nhân $2$ với $0$ .

$y = 0$

Bước 1.4

Tính $y$ khi $x = 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Thay $2$ bằng $x$ .

$y = 2 {(2)}^{\frac{1}{3}}$

Bước 1.4.2

Thế $2$ vào $x$ trong $y = 2 {(2)}^{\frac{1}{3}}$ và giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.2.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$y = 2 \cdot 2^{\frac{1}{3}}$

Bước 1.4.2.2

Nhân $2$ với $2^{\frac{1}{3}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.2.2.1

Nhân $2$ với $2^{\frac{1}{3}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.2.2.1.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $1$ .

$y = 2^{1} \cdot 2^{\frac{1}{3}}$

Bước 1.4.2.2.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$y = 2^{1 + \frac{1}{3}}$

Bước 1.4.2.2.2

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$y = 2^{\frac{3}{3} + \frac{1}{3}}$

Bước 1.4.2.2.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y = 2^{\frac{3 + 1}{3}}$

Bước 1.4.2.2.4

Cộng $3$ và $1$ .

$y = 2^{\frac{4}{3}}$

Bước 1.5

Thay $- 1 + i \sqrt{3}$ bằng $x$ .

$y = 2 {(- 1 + i \sqrt{3})}^{\frac{1}{3}}$

Bước 1.6

Thay $- 1 - i \sqrt{3}$ bằng $x$ .

$y = 2 {(- 1 - i \sqrt{3})}^{\frac{1}{3}}$

Bước 1.7

Liệt kê tất cả các đáp án.

$y = 0, x = 0$

$y = 2^{\frac{4}{3}}, x = 2$

$y = 2 {(- 1 + i \sqrt{3})}^{\frac{1}{3}}, x = - 1 + i \sqrt{3}$

$y = 2 {(- 1 - i \sqrt{3})}^{\frac{1}{3}}, x = - 1 - i \sqrt{3}$

$y = 0, x = 0$

$y = 2^{\frac{4}{3}}, x = 2$

$y = 2 {(- 1 + i \sqrt{3})}^{\frac{1}{3}}, x = - 1 + i \sqrt{3}$

$y = 2 {(- 1 - i \sqrt{3})}^{\frac{1}{3}}, x = - 1 - i \sqrt{3}$

Bước 2

Vùng giữa các đường cong đã cho không bị giới hạn.

Vùng không có biên

Bước 3