Giải tích Ví dụ

$y = x^{2}$ , $y = 4 x$

Bước 1

Để tìm thể tích của vật rắn, trước tiên hãy xác định diện tích của mỗi lát cắt sau đó lấy tích phân trên khoảng biến thiên. Diện tích của mỗi lát cắt là diện tích của một đường tròn có bán kính $f (x)$ và $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{0}^{4} {(f (x))}^{2} - {(g (x))}^{2} d x$ trong đó $f (x) = 4 x$ và $g (x) = x^{2}$

Bước 2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $4 x$ .

$V = 4^{2} x^{2} - {(x^{2})}^{2}$

Bước 2.2

Nâng $4$ lên lũy thừa $2$ .

$V = 16 x^{2} - {(x^{2})}^{2}$

Bước 2.3

Nhân các số mũ trong ${(x^{2})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V = 16 x^{2} - x^{2 \cdot 2}$

Bước 2.3.2

Nhân $2$ với $2$ .

$V = 16 x^{2} - x^{4}$

Bước 3

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$V = π (\int_{0}^{4} 16 x^{2} d x + \int_{0}^{4} - x^{4} d x)$

Bước 4

Vì $16$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $16$ ra khỏi tích phân.

$V = π (16 \int_{0}^{4} x^{2} d x + \int_{0}^{4} - x^{4} d x)$

Bước 5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$V = π (16 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{4}) + \int_{0}^{4} - x^{4} d x)$

Bước 6

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $x^{3}$ .

$V = π (16 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{4}) + \int_{0}^{4} - x^{4} d x)$

Bước 7

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$V = π (16 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{4}) - \int_{0}^{4} x^{4} d x)$

Bước 8

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{4}$ đối với $x$ là $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$V = π (16 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{4}) - (\frac{1}{5} x^{5}]_{0}^{4}))$

Bước 9

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Kết hợp $\frac{1}{5}$ và $x^{5}$ .

$V = π (16 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{4}) - (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{4}))$

Bước 9.2

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1

Tính $\frac{x^{3}}{3}$ tại $4$ và tại $0$ .

$V = π (16 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}) - (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{4}))$

Bước 9.2.2

Tính $\frac{x^{5}}{5}$ tại $4$ và tại $0$ .

$V = π (16 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - (\frac{4^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Bước 9.2.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.3.1

Nâng $4$ lên lũy thừa $3$ .

$V = π (16 (\frac{64}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - (\frac{4^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Bước 9.2.3.2

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$V = π (16 (\frac{64}{3} - \frac{0}{3}) - (\frac{4^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Bước 9.2.3.3

Triệt tiêu thừa số chung của $0$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.3.3.1

Đưa $3$ ra ngoài $0$ .

$V = π (16 (\frac{64}{3} - \frac{3 (0)}{3}) - (\frac{4^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Bước 9.2.3.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.3.3.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$V = π (16 (\frac{64}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - (\frac{4^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Bước 9.2.3.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$V = π (16 (\frac{64}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - (\frac{4^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Bước 9.2.3.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$V = π (16 (\frac{64}{3} - \frac{0}{1}) - (\frac{4^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Bước 9.2.3.3.2.4

Chia $0$ cho $1$ .

$V = π (16 (\frac{64}{3} - 0) - (\frac{4^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Bước 9.2.3.4

Nhân $- 1$ với $0$ .

$V = π (16 (\frac{64}{3} + 0) - (\frac{4^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Bước 9.2.3.5

Cộng $\frac{64}{3}$ và $0$ .

$V = π (16 (\frac{64}{3}) - (\frac{4^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Bước 9.2.3.6

Kết hợp $16$ và $\frac{64}{3}$ .

$V = π (\frac{16 \cdot 64}{3} - (\frac{4^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Bước 9.2.3.7

Nhân $16$ với $64$ .

$V = π (\frac{1024}{3} - (\frac{4^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Bước 9.2.3.8

Nâng $4$ lên lũy thừa $5$ .

$V = π (\frac{1024}{3} - (\frac{1024}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Bước 9.2.3.9

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$V = π (\frac{1024}{3} - (\frac{1024}{5} - \frac{0}{5}))$

Bước 9.2.3.10

Triệt tiêu thừa số chung của $0$ và $5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.3.10.1

Đưa $5$ ra ngoài $0$ .

$V = π (\frac{1024}{3} - (\frac{1024}{5} - \frac{5 (0)}{5}))$

Bước 9.2.3.10.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.3.10.2.1

Đưa $5$ ra ngoài $5$ .

$V = π (\frac{1024}{3} - (\frac{1024}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1}))$

Bước 9.2.3.10.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$V = π (\frac{1024}{3} - (\frac{1024}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1}))$

Bước 9.2.3.10.2.3

Viết lại biểu thức.

$V = π (\frac{1024}{3} - (\frac{1024}{5} - \frac{0}{1}))$

Bước 9.2.3.10.2.4

Chia $0$ cho $1$ .

$V = π (\frac{1024}{3} - (\frac{1024}{5} - 0))$

Bước 9.2.3.11

Nhân $- 1$ với $0$ .

$V = π (\frac{1024}{3} - (\frac{1024}{5} + 0))$

Bước 9.2.3.12

Cộng $\frac{1024}{5}$ và $0$ .

$V = π (\frac{1024}{3} - \frac{1024}{5})$

Bước 9.2.3.13

Để viết $\frac{1024}{3}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{5}{5}$ .

$V = π (\frac{1024}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{1024}{5})$

Bước 9.2.3.14

Để viết $- \frac{1024}{5}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$V = π (\frac{1024}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{1024}{5} \cdot \frac{3}{3})$

Bước 9.2.3.15

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $15$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.3.15.1

Nhân $\frac{1024}{3}$ với $\frac{5}{5}$ .

$V = π (\frac{1024 \cdot 5}{3 \cdot 5} - \frac{1024}{5} \cdot \frac{3}{3})$

Bước 9.2.3.15.2

Nhân $3$ với $5$ .

$V = π (\frac{1024 \cdot 5}{15} - \frac{1024}{5} \cdot \frac{3}{3})$

Bước 9.2.3.15.3

Nhân $\frac{1024}{5}$ với $\frac{3}{3}$ .

$V = π (\frac{1024 \cdot 5}{15} - \frac{1024 \cdot 3}{5 \cdot 3})$

Bước 9.2.3.15.4

Nhân $5$ với $3$ .

$V = π (\frac{1024 \cdot 5}{15} - \frac{1024 \cdot 3}{15})$

Bước 9.2.3.16

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$V = π (\frac{1024 \cdot 5 - 1024 \cdot 3}{15})$

Bước 9.2.3.17

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.3.17.1

Nhân $1024$ với $5$ .

$V = π (\frac{5120 - 1024 \cdot 3}{15})$

Bước 9.2.3.17.2

Nhân $- 1024$ với $3$ .

$V = π (\frac{5120 - 3072}{15})$

Bước 9.2.3.17.3

Trừ $3072$ khỏi $5120$ .

$V = π (\frac{2048}{15})$

Bước 9.2.3.18

Kết hợp $π$ và $\frac{2048}{15}$ .

$V = \frac{π \cdot 2048}{15}$

Bước 9.2.3.19

Di chuyển $2048$ sang phía bên trái của $π$ .

$V = \frac{2048 π}{15}$

Bước 10

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$V = \frac{2048 π}{15}$

Dạng thập phân:

$V = 428.93211697 \dots$

Bước 11