Giải tích Ví dụ

$y^{2} = 2 x$ , $x = 2 y$

Bước 1

Để tìm thể tích của vật rắn, trước tiên hãy xác định diện tích của mỗi lát cắt sau đó lấy tích phân trên khoảng biến thiên. Diện tích của mỗi lát cắt là diện tích của một đường tròn có bán kính $f (y)$ và $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{0}^{4} {(f (y))}^{2} - {(g (y))}^{2} d y$ trong đó $f (y) = 2 y$ và $g (y) = \frac{y^{2}}{2}$

Bước 2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $2 y$ .

$V = 2^{2} y^{2} - {(\frac{y^{2}}{2})}^{2}$

Bước 2.2

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$V = 4 y^{2} - {(\frac{y^{2}}{2})}^{2}$

Bước 2.3

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{y^{2}}{2}$ .

$V = 4 y^{2} - \frac{{(y^{2})}^{2}}{2^{2}}$

Bước 2.4

Nhân các số mũ trong ${(y^{2})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V = 4 y^{2} - \frac{y^{2 \cdot 2}}{2^{2}}$

Bước 2.4.2

Nhân $2$ với $2$ .

$V = 4 y^{2} - \frac{y^{4}}{2^{2}}$

Bước 2.5

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$V = 4 y^{2} - \frac{y^{4}}{4}$

Bước 3

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$V = π (\int_{0}^{4} 4 y^{2} d y + \int_{0}^{4} - \frac{y^{4}}{4} d y)$

Bước 4

Vì $4$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $4$ ra khỏi tích phân.

$V = π (4 \int_{0}^{4} y^{2} d y + \int_{0}^{4} - \frac{y^{4}}{4} d y)$

Bước 5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $y^{2}$ đối với $y$ là $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$V = π (4 (\frac{1}{3} y^{3}]_{0}^{4}) + \int_{0}^{4} - \frac{y^{4}}{4} d y)$

Bước 6

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $y^{3}$ .

$V = π (4 (\frac{y^{3}}{3}]_{0}^{4}) + \int_{0}^{4} - \frac{y^{4}}{4} d y)$

Bước 7

Vì $- 1$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$V = π (4 (\frac{y^{3}}{3}]_{0}^{4}) - \int_{0}^{4} \frac{y^{4}}{4} d y)$

Bước 8

Vì $\frac{1}{4}$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $\frac{1}{4}$ ra khỏi tích phân.

$V = π (4 (\frac{y^{3}}{3}]_{0}^{4}) - (\frac{1}{4} \cdot \int_{0}^{4} y^{4} d y))$

Bước 9

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $y^{4}$ đối với $y$ là $\frac{1}{5} y^{5}$ .

$V = π (4 (\frac{y^{3}}{3}]_{0}^{4}) - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{5} y^{5}]_{0}^{4})$

Bước 10

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1.1

Kết hợp $\frac{1}{5}$ và $y^{5}$ .

$V = π (4 (\frac{y^{3}}{3}]_{0}^{4}) - \frac{1}{4} \cdot \frac{y^{5}}{5}]_{0}^{4})$

Bước 10.1.2

Kết hợp $\frac{y^{5}}{5}]_{0}^{4}$ và $\frac{1}{4}$ .

$V = π (4 (\frac{y^{3}}{3}]_{0}^{4}) - \frac{\frac{y^{5}}{5}]_{0}^{4}}{4})$

Bước 10.2

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.1

Tính $\frac{y^{3}}{3}$ tại $4$ và tại $0$ .

$V = π (4 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}) - \frac{\frac{y^{5}}{5}]_{0}^{4}}{4})$

Bước 10.2.2

Tính $\frac{y^{5}}{5}$ tại $4$ và tại $0$ .

$V = π (4 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}) - \frac{(\frac{4^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}}{4})$

Bước 10.2.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.3.1

Nâng $4$ lên lũy thừa $3$ .

$V = π (4 (\frac{64}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - \frac{(\frac{4^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}}{4})$

Bước 10.2.3.2

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$V = π (4 (\frac{64}{3} - \frac{0}{3}) - \frac{(\frac{4^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}}{4})$

Bước 10.2.3.3

Triệt tiêu thừa số chung của $0$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.3.3.1

Đưa $3$ ra ngoài $0$ .

$V = π (4 (\frac{64}{3} - \frac{3 (0)}{3}) - \frac{(\frac{4^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}}{4})$

Bước 10.2.3.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.3.3.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$V = π (4 (\frac{64}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - \frac{(\frac{4^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}}{4})$

Bước 10.2.3.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$V = π (4 (\frac{64}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - \frac{(\frac{4^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}}{4})$

Bước 10.2.3.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$V = π (4 (\frac{64}{3} - \frac{0}{1}) - \frac{(\frac{4^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}}{4})$

Bước 10.2.3.3.2.4

Chia $0$ cho $1$ .

$V = π (4 (\frac{64}{3} - 0) - \frac{(\frac{4^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}}{4})$

Bước 10.2.3.4

Nhân $- 1$ với $0$ .

$V = π (4 (\frac{64}{3} + 0) - \frac{(\frac{4^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}}{4})$

Bước 10.2.3.5

Cộng $\frac{64}{3}$ và $0$ .

$V = π (4 (\frac{64}{3}) - \frac{(\frac{4^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}}{4})$

Bước 10.2.3.6

Kết hợp $4$ và $\frac{64}{3}$ .

$V = π (\frac{4 \cdot 64}{3} - \frac{(\frac{4^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}}{4})$

Bước 10.2.3.7

Nhân $4$ với $64$ .

$V = π (\frac{256}{3} - \frac{(\frac{4^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}}{4})$

Bước 10.2.3.8

Nâng $4$ lên lũy thừa $5$ .

$V = π (\frac{256}{3} - \frac{\frac{1024}{5} - \frac{0^{5}}{5}}{4})$

Bước 10.2.3.9

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$V = π (\frac{256}{3} - \frac{\frac{1024}{5} - \frac{0}{5}}{4})$

Bước 10.2.3.10

Triệt tiêu thừa số chung của $0$ và $5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.3.10.1

Đưa $5$ ra ngoài $0$ .

$V = π (\frac{256}{3} - \frac{\frac{1024}{5} - \frac{5 (0)}{5}}{4})$

Bước 10.2.3.10.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.3.10.2.1

Đưa $5$ ra ngoài $5$ .

$V = π (\frac{256}{3} - \frac{\frac{1024}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1}}{4})$

Bước 10.2.3.10.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$V = π (\frac{256}{3} - \frac{\frac{1024}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1}}{4})$

Bước 10.2.3.10.2.3

Viết lại biểu thức.

$V = π (\frac{256}{3} - \frac{\frac{1024}{5} - \frac{0}{1}}{4})$

Bước 10.2.3.10.2.4

Chia $0$ cho $1$ .

$V = π (\frac{256}{3} - \frac{\frac{1024}{5} - 0}{4})$

Bước 10.2.3.11

Nhân $- 1$ với $0$ .

$V = π (\frac{256}{3} - \frac{\frac{1024}{5} + 0}{4})$

Bước 10.2.3.12

Cộng $\frac{1024}{5}$ và $0$ .

$V = π (\frac{256}{3} - \frac{\frac{1024}{5}}{4})$

Bước 10.2.3.13

Viết lại $\frac{\frac{1024}{5}}{4}$ ở dạng một tích.

$V = π (\frac{256}{3} - (\frac{1024}{5} \cdot \frac{1}{4}))$

Bước 10.2.3.14

Nhân $\frac{1024}{5}$ với $\frac{1}{4}$ .

$V = π (\frac{256}{3} - \frac{1024}{5 \cdot 4})$

Bước 10.2.3.15

Nhân $5$ với $4$ .

$V = π (\frac{256}{3} - \frac{1024}{20})$

Bước 10.2.3.16

Triệt tiêu thừa số chung của $1024$ và $20$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.3.16.1

Đưa $4$ ra ngoài $1024$ .

$V = π (\frac{256}{3} - \frac{4 (256)}{20})$

Bước 10.2.3.16.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.3.16.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $20$ .

$V = π (\frac{256}{3} - \frac{4 \cdot 256}{4 \cdot 5})$

Bước 10.2.3.16.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$V = π (\frac{256}{3} - \frac{4 \cdot 256}{4 \cdot 5})$

Bước 10.2.3.16.2.3

Viết lại biểu thức.

$V = π (\frac{256}{3} - \frac{256}{5})$

Bước 10.2.3.17

Để viết $\frac{256}{3}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{5}{5}$ .

$V = π (\frac{256}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{256}{5})$

Bước 10.2.3.18

Để viết $- \frac{256}{5}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$V = π (\frac{256}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{256}{5} \cdot \frac{3}{3})$

Bước 10.2.3.19

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $15$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.3.19.1

Nhân $\frac{256}{3}$ với $\frac{5}{5}$ .

$V = π (\frac{256 \cdot 5}{3 \cdot 5} - \frac{256}{5} \cdot \frac{3}{3})$

Bước 10.2.3.19.2

Nhân $3$ với $5$ .

$V = π (\frac{256 \cdot 5}{15} - \frac{256}{5} \cdot \frac{3}{3})$

Bước 10.2.3.19.3

Nhân $\frac{256}{5}$ với $\frac{3}{3}$ .

$V = π (\frac{256 \cdot 5}{15} - \frac{256 \cdot 3}{5 \cdot 3})$

Bước 10.2.3.19.4

Nhân $5$ với $3$ .

$V = π (\frac{256 \cdot 5}{15} - \frac{256 \cdot 3}{15})$

Bước 10.2.3.20

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$V = π (\frac{256 \cdot 5 - 256 \cdot 3}{15})$

Bước 10.2.3.21

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.3.21.1

Nhân $256$ với $5$ .

$V = π (\frac{1280 - 256 \cdot 3}{15})$

Bước 10.2.3.21.2

Nhân $- 256$ với $3$ .

$V = π (\frac{1280 - 768}{15})$

Bước 10.2.3.21.3

Trừ $768$ khỏi $1280$ .

$V = π (\frac{512}{15})$

Bước 10.2.3.22

Kết hợp $π$ và $\frac{512}{15}$ .

$V = \frac{π \cdot 512}{15}$

Bước 10.2.3.23

Di chuyển $512$ sang phía bên trái của $π$ .

$V = \frac{512 π}{15}$

Bước 11

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$V = \frac{512 π}{15}$

Dạng thập phân:

$V = 107.23302924 \dots$

Bước 12