Giải tích Ví dụ

$y^{2} - 2 x^{3} = 33$ , $(2, - 7)$

Bước 1

Tìm đạo hàm và tính giá trị tại $x = 2$ và $y = - 7$ để tìm hệ số góc của đường tiếp tuyến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (y^{2} - 2 x^{3}) = \frac{d}{d x} (33)$

Bước 1.2

Tính đạo hàm vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $y^{2} - 2 x^{3}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$

Bước 1.2.2

Tính $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$

Bước 1.2.2.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$

Bước 1.2.2.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $y$ .

$2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$

Bước 1.2.2.2

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$2 y y' + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$

Bước 1.2.3

Tính $\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.1

Vì $- 2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 2 x^{3}$ đối với $x$ là $- 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 y y' - 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Bước 1.2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$2 y y' - 2 (3 x^{2})$

Bước 1.2.3.3

Nhân $3$ với $- 2$ .

$2 y y' - 6 x^{2}$

Bước 1.2.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$- 6 x^{2} + 2 y y'$

Bước 1.3

Vì $33$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $33$ đối với $x$ là $0$ .

$0$

Bước 1.4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$- 6 x^{2} + 2 y y' = 0$

Bước 1.5

Giải tìm $y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Cộng $6 x^{2}$ cho cả hai vế của phương trình.

$2 y y' = 6 x^{2}$

Bước 1.5.2

Chia mỗi số hạng trong $2 y y' = 6 x^{2}$ cho $2 y$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.2.1

Chia mỗi số hạng trong $2 y y' = 6 x^{2}$ cho $2 y$ .

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{6 x^{2}}{2 y}$

Bước 1.5.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{6 x^{2}}{2 y}$

Bước 1.5.2.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{y y'}{y} = \frac{6 x^{2}}{2 y}$

Bước 1.5.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.2.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y y'}{y} = \frac{6 x^{2}}{2 y}$

Bước 1.5.2.2.2.2

Chia $y'$ cho $1$ .

$y' = \frac{6 x^{2}}{2 y}$

Bước 1.5.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung của $6$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.2.3.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $6 x^{2}$ .

$y' = \frac{2 (3 x^{2})}{2 y}$

Bước 1.5.2.3.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.2.3.1.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 y$ .

$y' = \frac{2 (3 x^{2})}{2 (y)}$

Bước 1.5.2.3.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$y' = \frac{2 (3 x^{2})}{2 y}$

Bước 1.5.2.3.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$y' = \frac{3 x^{2}}{y}$

Bước 1.6

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2}}{y}$

Bước 1.7

Tính giá trị tại $x = 2$ và $y = - 7$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.7.1

Thay thế biến $x$ bằng $2$ trong biểu thức.

$\frac{3 {(2)}^{2}}{y}$

Bước 1.7.2

Thay thế biến $y$ bằng $- 7$ trong biểu thức.

$\frac{3 {(2)}^{2}}{- 7}$

Bước 1.7.3

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{3 \cdot 4}{- 7}$

Bước 1.7.4

Nhân $3$ với $4$ .

$\frac{12}{- 7}$

Bước 1.7.5

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{12}{7}$

Bước 2

Thế hệ số góc và tọa độ điểm vào công thức phương trình đường thẳng dạng hệ số góc và giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Sử dụng hệ số góc $- \frac{12}{7}$ và một điểm đã cho $(2, - 7)$ để thay $x_{1}$ và $y_{1}$ ở dạng biết một điểm và hệ số góc $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , được tìm từ phương trình hệ số góc $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- 7) = - \frac{12}{7} \cdot (x - (2))$

Bước 2.2

Rút gọn phương trình và giữ nó ở dạng biết một điểm và hệ số góc.

$y + 7 = - \frac{12}{7} \cdot (x - 2)$

Bước 2.3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Rút gọn $- \frac{12}{7} \cdot (x - 2)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1

Viết lại.

$y + 7 = 0 + 0 - \frac{12}{7} \cdot (x - 2)$

Bước 2.3.1.2

Rút gọn bằng cách cộng các số 0.

$y + 7 = - \frac{12}{7} \cdot (x - 2)$

Bước 2.3.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y + 7 = - \frac{12}{7} x - \frac{12}{7} \cdot - 2$

Bước 2.3.1.4

Kết hợp $x$ và $\frac{12}{7}$ .

$y + 7 = - \frac{x \cdot 12}{7} - \frac{12}{7} \cdot - 2$

Bước 2.3.1.5

Nhân $- \frac{12}{7} \cdot - 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.5.1

Nhân $- 2$ với $- 1$ .

$y + 7 = - \frac{x \cdot 12}{7} + 2 (\frac{12}{7})$

Bước 2.3.1.5.2

Kết hợp $2$ và $\frac{12}{7}$ .

$y + 7 = - \frac{x \cdot 12}{7} + \frac{2 \cdot 12}{7}$

Bước 2.3.1.5.3

Nhân $2$ với $12$ .

$y + 7 = - \frac{x \cdot 12}{7} + \frac{24}{7}$

Bước 2.3.1.6

Di chuyển $12$ sang phía bên trái của $x$ .

$y + 7 = - \frac{12 x}{7} + \frac{24}{7}$

Bước 2.3.2

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $y$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Trừ $7$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$y = - \frac{12 x}{7} + \frac{24}{7} - 7$

Bước 2.3.2.2

Để viết $- 7$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{7}{7}$ .

$y = - \frac{12 x}{7} + \frac{24}{7} - 7 \cdot \frac{7}{7}$

Bước 2.3.2.3

Kết hợp $- 7$ và $\frac{7}{7}$ .

$y = - \frac{12 x}{7} + \frac{24}{7} + \frac{- 7 \cdot 7}{7}$

Bước 2.3.2.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y = - \frac{12 x}{7} + \frac{24 - 7 \cdot 7}{7}$

Bước 2.3.2.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.5.1

Nhân $- 7$ với $7$ .

$y = - \frac{12 x}{7} + \frac{24 - 49}{7}$

Bước 2.3.2.5.2

Trừ $49$ khỏi $24$ .

$y = - \frac{12 x}{7} + \frac{- 25}{7}$

Bước 2.3.2.6

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y = - \frac{12 x}{7} - \frac{25}{7}$

Bước 2.3.3

Viết dưới dạng $y = m x + b$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.1

Sắp xếp lại các số hạng.

$y = - (\frac{12}{7} x) - \frac{25}{7}$

Bước 2.3.3.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$y = - \frac{12}{7} x - \frac{25}{7}$

Bước 3