Giải tích Ví dụ

$2 y^{2} - \sqrt{x} = 28$ , $(16, 4)$

Bước 1

Tìm đạo hàm và tính giá trị tại $x = 16$ và $y = 4$ để tìm hệ số góc của đường tiếp tuyến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 y^{2} - x^{\frac{1}{2}} = 28$

Bước 1.2

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (2 y^{2} - x^{\frac{1}{2}}) = \frac{d}{d x} (28)$

Bước 1.3

Tính đạo hàm vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 y^{2} - x^{\frac{1}{2}}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$

Bước 1.3.2

Tính $\frac{d}{d x} [2 y^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 y^{2}$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$

Bước 1.3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $y$ .

$2 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$

Bước 1.3.2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 (2 u \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$

Bước 1.3.2.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $y$ .

$2 (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$

Bước 1.3.2.3

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$2 (2 y y') + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$

Bước 1.3.2.4

Nhân $2$ với $2$ .

$4 y y' + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$

Bước 1.3.3

Tính $\frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x^{\frac{1}{2}}$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$4 y y' - \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Bước 1.3.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$4 y y' - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Bước 1.3.3.3

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$4 y y' - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Bước 1.3.3.4

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$4 y y' - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Bước 1.3.3.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$4 y y' - (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Bước 1.3.3.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.3.6.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$4 y y' - (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Bước 1.3.3.6.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$4 y y' - (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Bước 1.3.3.7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$4 y y' - (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Bước 1.3.3.8

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$4 y y' - \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Bước 1.3.3.9

Di chuyển $x^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 y y' - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 1.4

Vì $28$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $28$ đối với $x$ là $0$ .

$0$

Bước 1.5

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$4 y y' - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Bước 1.6

Giải tìm $y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.1

Cộng $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ cho cả hai vế của phương trình.

$4 y y' = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 1.6.2

Chia mỗi số hạng trong $4 y y' = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ cho $4 y$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.2.1

Chia mỗi số hạng trong $4 y y' = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ cho $4 y$ .

$\frac{4 y y'}{4 y} = \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{4 y}$

Bước 1.6.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{4 y y'}{4 y} = \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{4 y}$

Bước 1.6.2.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{y y'}{y} = \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{4 y}$

Bước 1.6.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.2.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y y'}{y} = \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{4 y}$

Bước 1.6.2.2.2.2

Chia $y'$ cho $1$ .

$y' = \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{4 y}$

Bước 1.6.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.2.3.1

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$y' = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{4 y}$

Bước 1.6.2.3.2

Kết hợp.

$y' = \frac{1 \cdot 1}{2 x^{\frac{1}{2}} (4 y)}$

Bước 1.6.2.3.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.2.3.3.1

Nhân $1$ với $1$ .

$y' = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} \cdot 4 y}$

Bước 1.6.2.3.3.2

Nhân $4$ với $2$ .

$y' = \frac{1}{8 x^{\frac{1}{2}} y}$

Bước 1.6.2.3.3.3

Sắp xếp lại các thừa số trong $\frac{1}{8 x^{\frac{1}{2}} y}$ .

$y' = \frac{1}{8 y x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 1.7

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{8 y x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 1.8

Tính giá trị tại $x = 16$ và $y = 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.8.1

Thay thế biến $x$ bằng $16$ trong biểu thức.

$\frac{1}{8 y {(16)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 1.8.2

Thay thế biến $y$ bằng $4$ trong biểu thức.

$\frac{1}{8 (4) {(16)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 1.8.3

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.8.3.1

Nhân $8$ với $4$ .

$\frac{1}{32 \cdot 16^{\frac{1}{2}}}$

Bước 1.8.3.2

Viết lại $32$ ở dạng $2^{5}$ .

$\frac{1}{2^{5} \cdot 16^{\frac{1}{2}}}$

Bước 1.8.3.3

Viết lại $16$ ở dạng $2^{4}$ .

$\frac{1}{2^{5} \cdot {(2^{4})}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 1.8.3.4

Nhân các số mũ trong ${(2^{4})}^{\frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.8.3.4.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2^{5} \cdot 2^{4 (\frac{1}{2})}}$

Bước 1.8.3.4.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.8.3.4.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$\frac{1}{2^{5} \cdot 2^{2 (2) \frac{1}{2}}}$

Bước 1.8.3.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{2^{5} \cdot 2^{2 \cdot 2 \frac{1}{2}}}$

Bước 1.8.3.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{2^{5} \cdot 2^{2}}$

Bước 1.8.3.5

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{1}{2^{5 + 2}}$

Bước 1.8.3.6

Cộng $5$ và $2$ .

$\frac{1}{2^{7}}$

Bước 1.8.4

Nâng $2$ lên lũy thừa $7$ .

$\frac{1}{128}$

Bước 2

Thế hệ số góc và tọa độ điểm vào công thức phương trình đường thẳng dạng hệ số góc và giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Sử dụng hệ số góc $\frac{1}{128}$ và một điểm đã cho $(16, 4)$ để thay $x_{1}$ và $y_{1}$ ở dạng biết một điểm và hệ số góc $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , được tìm từ phương trình hệ số góc $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (4) = \frac{1}{128} \cdot (x - (16))$

Bước 2.2

Rút gọn phương trình và giữ nó ở dạng biết một điểm và hệ số góc.

$y - 4 = \frac{1}{128} \cdot (x - 16)$

Bước 2.3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Rút gọn $\frac{1}{128} \cdot (x - 16)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1

Viết lại.

$y - 4 = 0 + 0 + \frac{1}{128} \cdot (x - 16)$

Bước 2.3.1.2

Rút gọn bằng cách cộng các số 0.

$y - 4 = \frac{1}{128} \cdot (x - 16)$

Bước 2.3.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y - 4 = \frac{1}{128} x + \frac{1}{128} \cdot - 16$

Bước 2.3.1.4

Kết hợp $\frac{1}{128}$ và $x$ .

$y - 4 = \frac{x}{128} + \frac{1}{128} \cdot - 16$

Bước 2.3.1.5

Triệt tiêu thừa số chung $16$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.5.1

Đưa $16$ ra ngoài $128$ .

$y - 4 = \frac{x}{128} + \frac{1}{16 (8)} \cdot - 16$

Bước 2.3.1.5.2

Đưa $16$ ra ngoài $- 16$ .

$y - 4 = \frac{x}{128} + \frac{1}{16 \cdot 8} \cdot (16 \cdot - 1)$

Bước 2.3.1.5.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$y - 4 = \frac{x}{128} + \frac{1}{16 \cdot 8} \cdot (16 \cdot - 1)$

Bước 2.3.1.5.4

Viết lại biểu thức.

$y - 4 = \frac{x}{128} + \frac{1}{8} \cdot - 1$

Bước 2.3.1.6

Kết hợp $\frac{1}{8}$ và $- 1$ .

$y - 4 = \frac{x}{128} + \frac{- 1}{8}$

Bước 2.3.1.7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y - 4 = \frac{x}{128} - \frac{1}{8}$

Bước 2.3.2

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $y$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Cộng $4$ cho cả hai vế của phương trình.

$y = \frac{x}{128} - \frac{1}{8} + 4$

Bước 2.3.2.2

Để viết $4$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{8}{8}$ .

$y = \frac{x}{128} - \frac{1}{8} + 4 \cdot \frac{8}{8}$

Bước 2.3.2.3

Kết hợp $4$ và $\frac{8}{8}$ .

$y = \frac{x}{128} - \frac{1}{8} + \frac{4 \cdot 8}{8}$

Bước 2.3.2.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y = \frac{x}{128} + \frac{- 1 + 4 \cdot 8}{8}$

Bước 2.3.2.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.5.1

Nhân $4$ với $8$ .

$y = \frac{x}{128} + \frac{- 1 + 32}{8}$

Bước 2.3.2.5.2

Cộng $- 1$ và $32$ .

$y = \frac{x}{128} + \frac{31}{8}$

Bước 2.3.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$y = \frac{1}{128} x + \frac{31}{8}$

Bước 3