Giải tích Ví dụ

$8 x^{2} + y^{2} = 89$ , $(- 1, 9)$

Bước 1

Tìm đạo hàm và tính giá trị tại $x = - 1$ và $y = 9$ để tìm hệ số góc của đường tiếp tuyến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (8 x^{2} + y^{2}) = \frac{d}{d x} (89)$

Bước 1.2

Tính đạo hàm vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $8 x^{2} + y^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Bước 1.2.2

Tính $\frac{d}{d x} [8 x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.1

Vì $8$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $8 x^{2}$ đối với $x$ là $8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Bước 1.2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$8 (2 x) + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Bước 1.2.2.3

Nhân $2$ với $8$ .

$16 x + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Bước 1.2.3

Tính $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $y$ .

$16 x + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Bước 1.2.3.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$16 x + 2 u \frac{d}{d x} [y]$

Bước 1.2.3.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $y$ .

$16 x + 2 y \frac{d}{d x} [y]$

Bước 1.2.3.2

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$16 x + 2 y y'$

Bước 1.2.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$2 y y' + 16 x$

Bước 1.3

Vì $89$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $89$ đối với $x$ là $0$ .

$0$

Bước 1.4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$2 y y' + 16 x = 0$

Bước 1.5

Giải tìm $y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Trừ $16 x$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$2 y y' = - 16 x$

Bước 1.5.2

Chia mỗi số hạng trong $2 y y' = - 16 x$ cho $2 y$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.2.1

Chia mỗi số hạng trong $2 y y' = - 16 x$ cho $2 y$ .

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{- 16 x}{2 y}$

Bước 1.5.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{- 16 x}{2 y}$

Bước 1.5.2.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 16 x}{2 y}$

Bước 1.5.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.2.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 16 x}{2 y}$

Bước 1.5.2.2.2.2

Chia $y'$ cho $1$ .

$y' = \frac{- 16 x}{2 y}$

Bước 1.5.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung của $- 16$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.2.3.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 16 x$ .

$y' = \frac{2 (- 8 x)}{2 y}$

Bước 1.5.2.3.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.2.3.1.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 y$ .

$y' = \frac{2 (- 8 x)}{2 (y)}$

Bước 1.5.2.3.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$y' = \frac{2 (- 8 x)}{2 y}$

Bước 1.5.2.3.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$y' = \frac{- 8 x}{y}$

Bước 1.5.2.3.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y' = - \frac{8 x}{y}$

Bước 1.6

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{8 x}{y}$

Bước 1.7

Tính giá trị tại $x = - 1$ và $y = 9$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.7.1

Thay thế biến $x$ bằng $- 1$ trong biểu thức.

$- \frac{8 (- 1)}{y}$

Bước 1.7.2

Thay thế biến $y$ bằng $9$ trong biểu thức.

$- \frac{8 (- 1)}{9}$

Bước 1.7.3

Nhân $8$ với $- 1$ .

$- \frac{- 8}{9}$

Bước 1.7.4

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- - \frac{8}{9}$

Bước 1.7.5

Nhân $- - \frac{8}{9}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.7.5.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$1 (\frac{8}{9})$

Bước 1.7.5.2

Nhân $\frac{8}{9}$ với $1$ .

$\frac{8}{9}$

Bước 2

Thế hệ số góc và tọa độ điểm vào công thức phương trình đường thẳng dạng hệ số góc và giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Sử dụng hệ số góc $\frac{8}{9}$ và một điểm đã cho $(- 1, 9)$ để thay $x_{1}$ và $y_{1}$ ở dạng biết một điểm và hệ số góc $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , được tìm từ phương trình hệ số góc $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (9) = \frac{8}{9} \cdot (x - (- 1))$

Bước 2.2

Rút gọn phương trình và giữ nó ở dạng biết một điểm và hệ số góc.

$y - 9 = \frac{8}{9} \cdot (x + 1)$

Bước 2.3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Rút gọn $\frac{8}{9} \cdot (x + 1)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1

Viết lại.

$y - 9 = 0 + 0 + \frac{8}{9} \cdot (x + 1)$

Bước 2.3.1.2

Rút gọn bằng cách cộng các số 0.

$y - 9 = \frac{8}{9} \cdot (x + 1)$

Bước 2.3.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y - 9 = \frac{8}{9} x + \frac{8}{9} \cdot 1$

Bước 2.3.1.4

Kết hợp $\frac{8}{9}$ và $x$ .

$y - 9 = \frac{8 x}{9} + \frac{8}{9} \cdot 1$

Bước 2.3.1.5

Nhân $\frac{8}{9}$ với $1$ .

$y - 9 = \frac{8 x}{9} + \frac{8}{9}$

Bước 2.3.2

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $y$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Cộng $9$ cho cả hai vế của phương trình.

$y = \frac{8 x}{9} + \frac{8}{9} + 9$

Bước 2.3.2.2

Để viết $9$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{9}{9}$ .

$y = \frac{8 x}{9} + \frac{8}{9} + 9 \cdot \frac{9}{9}$

Bước 2.3.2.3

Kết hợp $9$ và $\frac{9}{9}$ .

$y = \frac{8 x}{9} + \frac{8}{9} + \frac{9 \cdot 9}{9}$

Bước 2.3.2.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y = \frac{8 x}{9} + \frac{8 + 9 \cdot 9}{9}$

Bước 2.3.2.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.5.1

Nhân $9$ với $9$ .

$y = \frac{8 x}{9} + \frac{8 + 81}{9}$

Bước 2.3.2.5.2

Cộng $8$ và $81$ .

$y = \frac{8 x}{9} + \frac{89}{9}$

Bước 2.3.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$y = \frac{8}{9} x + \frac{89}{9}$

Bước 3