Giải tích Ví dụ

$y = \frac{8}{\sin (x) + \cos (x)}$ , $(0, 8)$

Bước 1

Tìm đạo hàm và tính giá trị tại $x = 0$ và $y = 8$ để tìm hệ số góc của đường tiếp tuyến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc nhân với hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Vì $8$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{8}{\sin (x) + \cos (x)}$ đối với $x$ là $8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{\sin (x) + \cos (x)}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{\sin (x) + \cos (x)}]$

Bước 1.1.2

Viết lại $\frac{1}{\sin (x) + \cos (x)}$ ở dạng ${(\sin (x) + \cos (x))}^{- 1}$ .

$8 \frac{d}{d x} [{(\sin (x) + \cos (x))}^{- 1}]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{- 1}$ và $g (x) = \sin (x) + \cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $\sin (x) + \cos (x)$ .

$8 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)])$

Bước 1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$8 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)])$

Bước 1.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\sin (x) + \cos (x)$ .

$8 (- {(\sin (x) + \cos (x))}^{- 2} \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)])$

Bước 1.3

Tính đạo hàm bằng quy tắc tổng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Nhân $- 1$ với $8$ .

$- 8 ({(\sin (x) + \cos (x))}^{- 2} \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)])$

Bước 1.3.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\sin (x) + \cos (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$- 8 {(\sin (x) + \cos (x))}^{- 2} (\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Bước 1.4

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$- 8 {(\sin (x) + \cos (x))}^{- 2} (\cos (x) + \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Bước 1.5

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$- 8 {(\sin (x) + \cos (x))}^{- 2} (\cos (x) - \sin (x))$

Bước 1.6

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 8 \frac{1}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}} (\cos (x) - \sin (x))$

Bước 1.7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.7.1

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.7.1.1

Kết hợp $- 8$ và $\frac{1}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$ .

$\frac{- 8}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}} (\cos (x) - \sin (x))$

Bước 1.7.1.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{8}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}} (\cos (x) - \sin (x))$

Bước 1.7.2

Sắp xếp lại các thừa số của $- \frac{8}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}} (\cos (x) - \sin (x))$ .

$- (\cos (x) - \sin (x)) \frac{8}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Bước 1.8

Tính đạo hàm tại $x = 0$ .

$- (\cos (0) - \sin (0)) \frac{8}{{(\sin (0) + \cos (0))}^{2}}$

Bước 1.9

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.9.1

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.9.1.1

Giá trị chính xác của $\sin (0)$ là $0$ .

$- (\cos (0) - \sin (0)) \frac{8}{{(0 + \cos (0))}^{2}}$

Bước 1.9.1.2

Giá trị chính xác của $\cos (0)$ là $1$ .

$- (\cos (0) - \sin (0)) \frac{8}{{(0 + 1)}^{2}}$

Bước 1.9.1.3

Cộng $0$ và $1$ .

$- (\cos (0) - \sin (0)) \frac{8}{1^{2}}$

Bước 1.9.1.4

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$- (\cos (0) - \sin (0)) \frac{8}{1}$

Bước 1.9.2

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.9.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.9.2.1.1

Giá trị chính xác của $\cos (0)$ là $1$ .

$- (1 - \sin (0)) \frac{8}{1}$

Bước 1.9.2.1.2

Giá trị chính xác của $\sin (0)$ là $0$ .

$- (1 - 0) \frac{8}{1}$

Bước 1.9.2.1.3

Nhân $- 1$ với $0$ .

$- (1 + 0) \frac{8}{1}$

Bước 1.9.2.2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.9.2.2.1

Cộng $1$ và $0$ .

$- 1 \cdot 1 \frac{8}{1}$

Bước 1.9.2.2.2

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- 1 (\frac{8}{1})$

Bước 1.9.2.2.3

Chia $8$ cho $1$ .

$- 1 \cdot 8$

Bước 1.9.2.2.4

Nhân $- 1$ với $8$ .

$- 8$

Bước 2

Thế hệ số góc và tọa độ điểm vào công thức phương trình đường thẳng dạng hệ số góc và giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Sử dụng hệ số góc $- 8$ và một điểm đã cho $(0, 8)$ để thay $x_{1}$ và $y_{1}$ ở dạng biết một điểm và hệ số góc $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , được tìm từ phương trình hệ số góc $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (8) = - 8 \cdot (x - (0))$

Bước 2.2

Rút gọn phương trình và giữ nó ở dạng biết một điểm và hệ số góc.

$y - 8 = - 8 \cdot (x + 0)$

Bước 2.3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Cộng $x$ và $0$ .

$y - 8 = - 8 x$

Bước 2.3.2

Cộng $8$ cho cả hai vế của phương trình.

$y = - 8 x + 8$

Bước 3