Giải tích Ví dụ

$y = \frac{3 x}{{(2 x - 5)}^{2}}$ , $(2, 6)$

Bước 1

Tìm đạo hàm và tính giá trị tại $x = 2$ và $y = 6$ để tìm hệ số góc của đường tiếp tuyến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{3 x}{{(2 x - 5)}^{2}}$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(2 x - 5)}^{2}}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(2 x - 5)}^{2}}]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = {(2 x - 5)}^{2}$ .

$3 \frac{{(2 x - 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{2}]}{{({(2 x - 5)}^{2})}^{2}}$

Bước 1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Nhân các số mũ trong ${({(2 x - 5)}^{2})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \frac{{(2 x - 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{2}]}{{(2 x - 5)}^{2 \cdot 2}}$

Bước 1.3.1.2

Nhân $2$ với $2$ .

$3 \frac{{(2 x - 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{2}]}{{(2 x - 5)}^{4}}$

Bước 1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$3 \frac{{(2 x - 5)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{2}]}{{(2 x - 5)}^{4}}$

Bước 1.3.3

Nhân ${(2 x - 5)}^{2}$ với $1$ .

$3 \frac{{(2 x - 5)}^{2} - x \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{2}]}{{(2 x - 5)}^{4}}$

Bước 1.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = 2 x - 5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $2 x - 5$ .

$3 \frac{{(2 x - 5)}^{2} - x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [2 x - 5])}{{(2 x - 5)}^{4}}$

Bước 1.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$3 \frac{{(2 x - 5)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} [2 x - 5])}{{(2 x - 5)}^{4}}$

Bước 1.4.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $2 x - 5$ .

$3 \frac{{(2 x - 5)}^{2} - x (2 (2 x - 5) \frac{d}{d x} [2 x - 5])}{{(2 x - 5)}^{4}}$

Bước 1.5

Rút gọn bằng cách đặt thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Nhân $2$ với $- 1$ .

$3 \frac{{(2 x - 5)}^{2} - 2 x ((2 x - 5) \frac{d}{d x} [2 x - 5])}{{(2 x - 5)}^{4}}$

Bước 1.5.2

Đưa $2 x - 5$ ra ngoài ${(2 x - 5)}^{2} - 2 x ((2 x - 5) \frac{d}{d x} [2 x - 5])$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.2.1

Đưa $2 x - 5$ ra ngoài ${(2 x - 5)}^{2}$ .

$3 \frac{(2 x - 5) (2 x - 5) - 2 x ((2 x - 5) \frac{d}{d x} [2 x - 5])}{{(2 x - 5)}^{4}}$

Bước 1.5.2.2

Đưa $2 x - 5$ ra ngoài $- 2 x ((2 x - 5) \frac{d}{d x} [2 x - 5])$ .

$3 \frac{(2 x - 5) (2 x - 5) + (2 x - 5) (- 2 x (\frac{d}{d x} [2 x - 5]))}{{(2 x - 5)}^{4}}$

Bước 1.5.2.3

Đưa $2 x - 5$ ra ngoài $(2 x - 5) (2 x - 5) + (2 x - 5) (- 2 x (\frac{d}{d x} [2 x - 5]))$ .

$3 \frac{(2 x - 5) (2 x - 5 - 2 x (\frac{d}{d x} [2 x - 5]))}{{(2 x - 5)}^{4}}$

Bước 1.6

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.1

Đưa $2 x - 5$ ra ngoài ${(2 x - 5)}^{4}$ .

$3 \frac{(2 x - 5) (2 x - 5 - 2 x (\frac{d}{d x} [2 x - 5]))}{(2 x - 5) {(2 x - 5)}^{3}}$

Bước 1.6.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$3 \frac{(2 x - 5) (2 x - 5 - 2 x (\frac{d}{d x} [2 x - 5]))}{(2 x - 5) {(2 x - 5)}^{3}}$

Bước 1.6.3

Viết lại biểu thức.

$3 \frac{2 x - 5 - 2 x (\frac{d}{d x} [2 x - 5])}{{(2 x - 5)}^{3}}$

Bước 1.7

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 x - 5$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$3 \frac{2 x - 5 - 2 x (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(2 x - 5)}^{3}}$

Bước 1.8

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{2 x - 5 - 2 x (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(2 x - 5)}^{3}}$

Bước 1.9

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$3 \frac{2 x - 5 - 2 x (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(2 x - 5)}^{3}}$

Bước 1.10

Nhân $2$ với $1$ .

$3 \frac{2 x - 5 - 2 x (2 + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(2 x - 5)}^{3}}$

Bước 1.11

Vì $- 5$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 5$ đối với $x$ là $0$ .

$3 \frac{2 x - 5 - 2 x (2 + 0)}{{(2 x - 5)}^{3}}$

Bước 1.12

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.12.1

Cộng $2$ và $0$ .

$3 \frac{2 x - 5 - 2 x \cdot 2}{{(2 x - 5)}^{3}}$

Bước 1.12.2

Nhân $2$ với $- 2$ .

$3 \frac{2 x - 5 - 4 x}{{(2 x - 5)}^{3}}$

Bước 1.12.3

Trừ $4 x$ khỏi $2 x$ .

$3 \frac{- 2 x - 5}{{(2 x - 5)}^{3}}$

Bước 1.12.4

Kết hợp $3$ và $\frac{- 2 x - 5}{{(2 x - 5)}^{3}}$ .

$\frac{3 (- 2 x - 5)}{{(2 x - 5)}^{3}}$

Bước 1.13

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.13.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{3 (- 2 x) + 3 \cdot - 5}{{(2 x - 5)}^{3}}$

Bước 1.13.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.13.2.1

Nhân $- 2$ với $3$ .

$\frac{- 6 x + 3 \cdot - 5}{{(2 x - 5)}^{3}}$

Bước 1.13.2.2

Nhân $3$ với $- 5$ .

$\frac{- 6 x - 15}{{(2 x - 5)}^{3}}$

Bước 1.13.3

Đưa $3$ ra ngoài $- 6 x - 15$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.13.3.1

Đưa $3$ ra ngoài $- 6 x$ .

$\frac{3 (- 2 x) - 15}{{(2 x - 5)}^{3}}$

Bước 1.13.3.2

Đưa $3$ ra ngoài $- 15$ .

$\frac{3 (- 2 x) + 3 (- 5)}{{(2 x - 5)}^{3}}$

Bước 1.13.3.3

Đưa $3$ ra ngoài $3 (- 2 x) + 3 (- 5)$ .

$\frac{3 (- 2 x - 5)}{{(2 x - 5)}^{3}}$

Bước 1.13.4

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 2 x$ .

$\frac{3 (- (2 x) - 5)}{{(2 x - 5)}^{3}}$

Bước 1.13.5

Viết lại $- 5$ ở dạng $- 1 (5)$ .

$\frac{3 (- (2 x) - 1 (5))}{{(2 x - 5)}^{3}}$

Bước 1.13.6

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (2 x) - 1 (5)$ .

$\frac{3 (- (2 x + 5))}{{(2 x - 5)}^{3}}$

Bước 1.13.7

Viết lại $- (2 x + 5)$ ở dạng $- 1 (2 x + 5)$ .

$\frac{3 (- 1 (2 x + 5))}{{(2 x - 5)}^{3}}$

Bước 1.13.8

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{3 (2 x + 5)}{{(2 x - 5)}^{3}}$

Bước 1.14

Tính đạo hàm tại $x = 2$ .

$- \frac{3 (2 (2) + 5)}{{(2 (2) - 5)}^{3}}$

Bước 1.15

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.15.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.15.1.1

Nhân $2$ với $2$ .

$- \frac{3 (4 + 5)}{{(2 (2) - 5)}^{3}}$

Bước 1.15.1.2

Cộng $4$ và $5$ .

$- \frac{3 \cdot 9}{{(2 (2) - 5)}^{3}}$

Bước 1.15.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.15.2.1

Nhân $2$ với $2$ .

$- \frac{3 \cdot 9}{{(4 - 5)}^{3}}$

Bước 1.15.2.2

Trừ $5$ khỏi $4$ .

$- \frac{3 \cdot 9}{{(- 1)}^{3}}$

Bước 1.15.2.3

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $3$ .

$- \frac{3 \cdot 9}{- 1}$

Bước 1.15.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.15.3.1

Nhân $3$ với $9$ .

$- \frac{27}{- 1}$

Bước 1.15.3.2

Chia $27$ cho $- 1$ .

$- - 27$

Bước 1.15.3.3

Nhân $- 1$ với $- 27$ .

$27$

Bước 2

Thế hệ số góc và tọa độ điểm vào công thức phương trình đường thẳng dạng hệ số góc và giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Sử dụng hệ số góc $27$ và một điểm đã cho $(2, 6)$ để thay $x_{1}$ và $y_{1}$ ở dạng biết một điểm và hệ số góc $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , được tìm từ phương trình hệ số góc $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (6) = 27 \cdot (x - (2))$

Bước 2.2

Rút gọn phương trình và giữ nó ở dạng biết một điểm và hệ số góc.

$y - 6 = 27 \cdot (x - 2)$

Bước 2.3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Rút gọn $27 \cdot (x - 2)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1

Viết lại.

$y - 6 = 0 + 0 + 27 \cdot (x - 2)$

Bước 2.3.1.2

Rút gọn bằng cách cộng các số 0.

$y - 6 = 27 \cdot (x - 2)$

Bước 2.3.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y - 6 = 27 x + 27 \cdot - 2$

Bước 2.3.1.4

Nhân $27$ với $- 2$ .

$y - 6 = 27 x - 54$

Bước 2.3.2

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $y$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Cộng $6$ cho cả hai vế của phương trình.

$y = 27 x - 54 + 6$

Bước 2.3.2.2

Cộng $- 54$ và $6$ .

$y = 27 x - 48$

Bước 3