Giải tích Ví dụ

$y = {(1 + 5 x)}^{15}$ , $(0, 1)$

Bước 1

Tìm đạo hàm và tính giá trị tại $x = 0$ và $y = 1$ để tìm hệ số góc của đường tiếp tuyến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{15}$ và $g (x) = 1 + 5 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $1 + 5 x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{15}] \frac{d}{d x} [1 + 5 x]$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 15$ .

$15 u^{14} \frac{d}{d x} [1 + 5 x]$

Bước 1.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $1 + 5 x$ .

$15 {(1 + 5 x)}^{14} \frac{d}{d x} [1 + 5 x]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 + 5 x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [5 x]$ .

$15 {(1 + 5 x)}^{14} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [5 x])$

Bước 1.2.2

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$15 {(1 + 5 x)}^{14} (0 + \frac{d}{d x} [5 x])$

Bước 1.2.3

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

$15 {(1 + 5 x)}^{14} \frac{d}{d x} [5 x]$

Bước 1.2.4

Vì $5$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $5 x$ đối với $x$ là $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$15 {(1 + 5 x)}^{14} (5 \frac{d}{d x} [x])$

Bước 1.2.5

Nhân $5$ với $15$ .

$75 {(1 + 5 x)}^{14} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.2.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$75 {(1 + 5 x)}^{14} \cdot 1$

Bước 1.2.7

Nhân $75$ với $1$ .

$75 {(1 + 5 x)}^{14}$

Bước 1.3

Tính đạo hàm tại $x = 0$ .

$75 {(1 + 5 (0))}^{14}$

Bước 1.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Nhân $5$ với $0$ .

$75 {(1 + 0)}^{14}$

Bước 1.4.2

Cộng $1$ và $0$ .

$75 \cdot 1^{14}$

Bước 1.4.3

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$75 \cdot 1$

Bước 1.4.4

Nhân $75$ với $1$ .

$75$

Bước 2

Thế hệ số góc và tọa độ điểm vào công thức phương trình đường thẳng dạng hệ số góc và giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Sử dụng hệ số góc $75$ và một điểm đã cho $(0, 1)$ để thay $x_{1}$ và $y_{1}$ ở dạng biết một điểm và hệ số góc $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , được tìm từ phương trình hệ số góc $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = 75 \cdot (x - (0))$

Bước 2.2

Rút gọn phương trình và giữ nó ở dạng biết một điểm và hệ số góc.

$y - 1 = 75 \cdot (x + 0)$

Bước 2.3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Cộng $x$ và $0$ .

$y - 1 = 75 x$

Bước 2.3.2

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$y = 75 x + 1$

Bước 3