Giải tích Ví dụ

$x e^{y} + y e^{x} = 1$ , $(0, 1)$

Bước 1

Tìm đạo hàm và tính giá trị tại $x = 0$ và $y = 1$ để tìm hệ số góc của đường tiếp tuyến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (x e^{y} + y e^{x}) = \frac{d}{d x} (1)$

Bước 1.2

Tính đạo hàm vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x e^{y} + y e^{x}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x e^{y}] + \frac{d}{d x} [y e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x e^{y}] + \frac{d}{d x} [y e^{x}]$

Bước 1.2.2

Tính $\frac{d}{d x} [x e^{y}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = e^{y}$ .

$x \frac{d}{d x} [e^{y}] + e^{y} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y e^{x}]$

Bước 1.2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $y$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [y]) + e^{y} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y e^{x}]$

Bước 1.2.2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ là $a^{u} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [y]) + e^{y} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y e^{x}]$

Bước 1.2.2.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $y$ .

$x (e^{y} \frac{d}{d x} [y]) + e^{y} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y e^{x}]$

Bước 1.2.2.3

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$x (e^{y} y') + e^{y} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y e^{x}]$

Bước 1.2.2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$x (e^{y} y') + e^{y} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y e^{x}]$

Bước 1.2.2.5

Nhân $e^{y}$ với $1$ .

$x e^{y} y' + e^{y} + \frac{d}{d x} [y e^{x}]$

Bước 1.2.3

Tính $\frac{d}{d x} [y e^{x}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = y$ và $g (x) = e^{x}$ .

$x e^{y} y' + e^{y} + y \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [y]$

Bước 1.2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$x e^{y} y' + e^{y} + y e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [y]$

Bước 1.2.3.3

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$x e^{y} y' + e^{y} + y e^{x} + e^{x} y'$

Bước 1.2.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.1

Sắp xếp lại các số hạng.

$e^{y} x y' + e^{x} y + e^{x} y' + e^{y}$

Bước 1.2.4.2

Sắp xếp lại các thừa số trong $e^{y} x y' + e^{x} y + e^{x} y' + e^{y}$ .

$x e^{y} y' + y e^{x} + e^{x} y' + e^{y}$

Bước 1.3

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$0$

Bước 1.4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$x e^{y} y' + y e^{x} + e^{x} y' + e^{y} = 0$

Bước 1.5

Giải tìm $y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Sắp xếp lại các thừa số trong $x e^{y} y' + y e^{x} + e^{x} y' + e^{y}$ .

$x y' e^{y} + y e^{x} + y' e^{x} + e^{y} = 0$

Bước 1.5.2

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $y'$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.2.1

Trừ $y e^{x}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x y' e^{y} + y' e^{x} + e^{y} = - y e^{x}$

Bước 1.5.2.2

Trừ $e^{y}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x y' e^{y} + y' e^{x} = - y e^{x} - e^{y}$

Bước 1.5.3

Đưa $y'$ ra ngoài $x y' e^{y} + y' e^{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.3.1

Đưa $y'$ ra ngoài $x y' e^{y}$ .

$y' (x e^{y}) + y' (e^{x}) = - y e^{x} - e^{y}$

Bước 1.5.3.2

Đưa $y'$ ra ngoài $y' e^{x}$ .

$y' (x e^{y}) + y' (e^{x}) = - y e^{x} - e^{y}$

Bước 1.5.3.3

Đưa $y'$ ra ngoài $y' (x e^{y}) + y' (e^{x})$ .

$y' (x e^{y} + e^{x}) = - y e^{x} - e^{y}$

Bước 1.5.4

Chia mỗi số hạng trong $y' (x e^{y} + e^{x}) = - y e^{x} - e^{y}$ cho $x e^{y} + e^{x}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.4.1

Chia mỗi số hạng trong $y' (x e^{y} + e^{x}) = - y e^{x} - e^{y}$ cho $x e^{y} + e^{x}$ .

$\frac{y' (x e^{y} + e^{x})}{x e^{y} + e^{x}} = \frac{- y e^{x}}{x e^{y} + e^{x}} + \frac{- e^{y}}{x e^{y} + e^{x}}$

Bước 1.5.4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $x e^{y} + e^{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.4.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y' (x e^{y} + e^{x})}{x e^{y} + e^{x}} = \frac{- y e^{x}}{x e^{y} + e^{x}} + \frac{- e^{y}}{x e^{y} + e^{x}}$

Bước 1.5.4.2.1.2

Chia $y'$ cho $1$ .

$y' = \frac{- y e^{x}}{x e^{y} + e^{x}} + \frac{- e^{y}}{x e^{y} + e^{x}}$

Bước 1.5.4.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.4.3.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y' = \frac{- y e^{x} - e^{y}}{x e^{y} + e^{x}}$

Bước 1.5.4.3.2

Đưa $- 1$ ra ngoài $- y e^{x}$ .

$y' = \frac{- (y e^{x}) - e^{y}}{x e^{y} + e^{x}}$

Bước 1.5.4.3.3

Đưa $- 1$ ra ngoài $- e^{y}$ .

$y' = \frac{- (y e^{x}) - (e^{y})}{x e^{y} + e^{x}}$

Bước 1.5.4.3.4

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (y e^{x}) - (e^{y})$ .

$y' = \frac{- (y e^{x} + e^{y})}{x e^{y} + e^{x}}$

Bước 1.5.4.3.5

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.4.3.5.1

Viết lại $- (y e^{x} + e^{y})$ ở dạng $- 1 (y e^{x} + e^{y})$ .

$y' = \frac{- 1 (y e^{x} + e^{y})}{x e^{y} + e^{x}}$

Bước 1.5.4.3.5.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y' = - \frac{y e^{x} + e^{y}}{x e^{y} + e^{x}}$

Bước 1.6

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y e^{x} + e^{y}}{x e^{y} + e^{x}}$

Bước 1.7

Tính giá trị tại $x = 0$ và $y = 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.7.1

Thay thế biến $x$ bằng $0$ trong biểu thức.

$- \frac{y e^{0} + e^{y}}{(0) \cdot e^{y} + e^{0}}$

Bước 1.7.2

Thay thế biến $y$ bằng $1$ trong biểu thức.

$- \frac{(1) \cdot e^{0} + e^{1}}{(0) \cdot e^{1} + e^{0}}$

Bước 1.7.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.7.3.1

Nhân $e^{0}$ với $1$ .

$- \frac{e^{0} + e^{1}}{0 \cdot e^{1} + e^{0}}$

Bước 1.7.3.2

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$- \frac{1 + e^{1}}{0 \cdot e^{1} + e^{0}}$

Bước 1.7.3.3

Rút gọn.

$- \frac{1 + e}{0 \cdot e^{1} + e^{0}}$

Bước 1.7.4

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.7.4.1

Rút gọn.

$- \frac{1 + e}{0 \cdot e + e^{0}}$

Bước 1.7.4.2

Nhân $0$ với $e$ .

$- \frac{1 + e}{0 + e^{0}}$

Bước 1.7.4.3

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$- \frac{1 + e}{0 + 1}$

Bước 1.7.4.4

Cộng $0$ và $1$ .

$- \frac{1 + e}{1}$

Bước 1.7.5

Rút gọn bằng cách nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.7.5.1

Chia $1 + e$ cho $1$ .

$- (1 + e)$

Bước 1.7.5.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- 1 \cdot 1 - e$

Bước 1.7.5.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- 1 - e$

Bước 2

Thế hệ số góc và tọa độ điểm vào công thức phương trình đường thẳng dạng hệ số góc và giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Sử dụng hệ số góc $- 1 - e$ và một điểm đã cho $(0, 1)$ để thay $x_{1}$ và $y_{1}$ ở dạng biết một điểm và hệ số góc $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , được tìm từ phương trình hệ số góc $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = (- 1 - e) \cdot (x - (0))$

Bước 2.2

Rút gọn phương trình và giữ nó ở dạng biết một điểm và hệ số góc.

$y - 1 = (- 1 - e) \cdot (x + 0)$

Bước 2.3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Rút gọn $(- 1 - e) \cdot (x + 0)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1

Cộng $x$ và $0$ .

$y - 1 = (- 1 - e) \cdot x$

Bước 2.3.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y - 1 = - 1 x - e x$

Bước 2.3.1.3

Viết lại $- 1 x$ ở dạng $- x$ .

$y - 1 = - x - e x$

Bước 2.3.2

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$y = - x - e x + 1$

Bước 2.3.3

Viết dưới dạng $y = m x + b$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.1

Di chuyển $e$ .

$y = - x - 1 x e + 1$

Bước 2.3.3.2

Viết lại $- 1 x$ ở dạng $- x$ .

$y = - x - x e + 1$

Bước 2.3.3.3

Đưa $x$ ra ngoài $- x$ .

$y = x \cdot - 1 - x e + 1$

Bước 2.3.3.4

Đưa $x$ ra ngoài $- x e$ .

$y = x \cdot - 1 + x (- e) + 1$

Bước 2.3.3.5

Đưa $x$ ra ngoài $x \cdot - 1 + x (- e)$ .

$y = x \cdot (- 1 - e) + 1$

Bước 2.3.3.6

Nhân $- 1 - e$ với $x$ .

$y = (- 1 - e) x + 1$

Bước 3