Giải tích Ví dụ

$\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y^{4}} = 2$ , $(1, 1)$

Bước 1

Tìm đạo hàm và tính giá trị tại $x = 1$ và $y = 1$ để tìm hệ số góc của đường tiếp tuyến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Viết lại vế trái với các số mũ hữu tỉ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[3]{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{3}}$ .

$x^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{y^{4}} = 2$

Bước 1.1.2

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[3]{y^{4}}$ ở dạng $y^{\frac{4}{3}}$ .

$x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{4}{3}} = 2$

Bước 1.2

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{4}{3}}) = \frac{d}{d x} (2)$

Bước 1.3

Tính đạo hàm vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{4}{3}}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$

Bước 1.3.2

Tính $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$

Bước 1.3.2.2

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$

Bước 1.3.2.3

Kết hợp $- 1$ và $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$

Bước 1.3.2.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$

Bước 1.3.2.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.5.1

Nhân $- 1$ với $3$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$

Bước 1.3.2.5.2

Trừ $3$ khỏi $1$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$

Bước 1.3.2.6

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$

Bước 1.3.3

Tính $\frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{\frac{4}{3}}$ và $g (x) = y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.3.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $y$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{d}{d u} [u^{\frac{4}{3}}] \frac{d}{d x} [y]$

Bước 1.3.3.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{4}{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{4}{3} u^{\frac{4}{3} - 1} \frac{d}{d x} [y]$

Bước 1.3.3.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $y$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{4}{3} y^{\frac{4}{3} - 1} \frac{d}{d x} [y]$

Bước 1.3.3.2

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{4}{3} y^{\frac{4}{3} - 1} y'$

Bước 1.3.3.3

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{4}{3} y^{\frac{4}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} y'$

Bước 1.3.3.4

Kết hợp $- 1$ và $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{4}{3} y^{\frac{4}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} y'$

Bước 1.3.3.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{4}{3} y^{\frac{4 - 1 \cdot 3}{3}} y'$

Bước 1.3.3.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.3.6.1

Nhân $- 1$ với $3$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{4}{3} y^{\frac{4 - 3}{3}} y'$

Bước 1.3.3.6.2

Trừ $3$ khỏi $4$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{4}{3} y^{\frac{1}{3}} y'$

Bước 1.3.3.7

Kết hợp $\frac{4}{3}$ và $y^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{4 y^{\frac{1}{3}}}{3} y'$

Bước 1.3.3.8

Kết hợp $\frac{4 y^{\frac{1}{3}}}{3}$ và $y'$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{4 y^{\frac{1}{3}} y'}{3}$

Bước 1.3.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.4.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4 y^{\frac{1}{3}} y'}{3}$

Bước 1.3.4.2

Nhân $\frac{1}{3}$ với $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4 y^{\frac{1}{3}} y'}{3}$

Bước 1.4

Vì $2$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $2$ đối với $x$ là $0$ .

$0$

Bước 1.5

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4 y^{\frac{1}{3}} y'}{3} = 0$

Bước 1.6

Giải tìm $y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.1

Sắp xếp lại các thừa số trong $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4 y^{\frac{1}{3}} y'}{3}$ .

$\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4 y' y^{\frac{1}{3}}}{3} = 0$

Bước 1.6.2

Trừ $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{4 y' y^{\frac{1}{3}}}{3} = - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Bước 1.6.3

Nhân cả hai vế của phương trình với $\frac{3}{4}$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{4 y' y^{\frac{1}{3}}}{3} = \frac{3}{4} (- \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Bước 1.6.4

Rút gọn cả hai vế của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.4.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.4.1.1

Rút gọn $\frac{3}{4} \cdot \frac{4 y' y^{\frac{1}{3}}}{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.4.1.1.1

Kết hợp.

$\frac{3 (4 y' y^{\frac{1}{3}})}{4 \cdot 3} = \frac{3}{4} (- \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Bước 1.6.4.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 (4 y' y^{\frac{1}{3}})}{4 \cdot 3} = \frac{3}{4} (- \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Bước 1.6.4.1.1.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{4 y' y^{\frac{1}{3}}}{4} = \frac{3}{4} (- \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Bước 1.6.4.1.1.4

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{4 y' y^{\frac{1}{3}}}{4} = \frac{3}{4} (- \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Bước 1.6.4.1.1.5

Chia $y' y^{\frac{1}{3}}$ cho $1$ .

$y' y^{\frac{1}{3}} = \frac{3}{4} (- \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Bước 1.6.4.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.4.2.1

Rút gọn $\frac{3}{4} (- \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.4.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.4.2.1.1.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ vào tử số.

$y' y^{\frac{1}{3}} = \frac{3}{4} \cdot \frac{- 1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Bước 1.6.4.2.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$y' y^{\frac{1}{3}} = \frac{3}{4} \cdot \frac{- 1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Bước 1.6.4.2.1.1.3

Viết lại biểu thức.

$y' y^{\frac{1}{3}} = \frac{1}{4} \cdot \frac{- 1}{x^{\frac{2}{3}}}$

Bước 1.6.4.2.1.2

Nhân $\frac{1}{4}$ với $\frac{- 1}{x^{\frac{2}{3}}}$ .

$y' y^{\frac{1}{3}} = \frac{- 1}{4 x^{\frac{2}{3}}}$

Bước 1.6.4.2.1.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y' y^{\frac{1}{3}} = - \frac{1}{4 x^{\frac{2}{3}}}$

Bước 1.6.5

Chia mỗi số hạng trong $y' y^{\frac{1}{3}} = - \frac{1}{4 x^{\frac{2}{3}}}$ cho $y^{\frac{1}{3}}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.5.1

Chia mỗi số hạng trong $y' y^{\frac{1}{3}} = - \frac{1}{4 x^{\frac{2}{3}}}$ cho $y^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{y' y^{\frac{1}{3}}}{y^{\frac{1}{3}}} = \frac{- \frac{1}{4 x^{\frac{2}{3}}}}{y^{\frac{1}{3}}}$

Bước 1.6.5.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.5.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y' y^{\frac{1}{3}}}{y^{\frac{1}{3}}} = \frac{- \frac{1}{4 x^{\frac{2}{3}}}}{y^{\frac{1}{3}}}$

Bước 1.6.5.2.2

Chia $y'$ cho $1$ .

$y' = \frac{- \frac{1}{4 x^{\frac{2}{3}}}}{y^{\frac{1}{3}}}$

Bước 1.6.5.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.5.3.1

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$y' = - \frac{1}{4 x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{1}{y^{\frac{1}{3}}}$

Bước 1.6.5.3.2

Nhân $\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}}$ với $\frac{1}{4 x^{\frac{2}{3}}}$ .

$y' = - \frac{1}{y^{\frac{1}{3}} (4 x^{\frac{2}{3}})}$

Bước 1.6.5.3.3

Di chuyển $4$ sang phía bên trái của $y^{\frac{1}{3}}$ .

$y' = - \frac{1}{4 y^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}}}$

Bước 1.7

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1}{4 y^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}}}$

Bước 1.8

Tính giá trị tại $x = 1$ và $y = 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.8.1

Thay thế biến $x$ bằng $1$ trong biểu thức.

$- \frac{1}{4 y^{\frac{1}{3}} {(1)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 1.8.2

Thay thế biến $y$ bằng $1$ trong biểu thức.

$- \frac{1}{4 {(1)}^{\frac{1}{3}} {(1)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 1.8.3

Nhân ${(1)}^{\frac{1}{3}}$ với ${(1)}^{\frac{2}{3}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.8.3.1

Di chuyển ${(1)}^{\frac{2}{3}}$ .

$- \frac{1}{4 ({(1)}^{\frac{2}{3}} {(1)}^{\frac{1}{3}})}$

Bước 1.8.3.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- \frac{1}{4 \cdot 1^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}}}$

Bước 1.8.3.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$- \frac{1}{4 \cdot 1^{\frac{2 + 1}{3}}}$

Bước 1.8.3.4

Cộng $2$ và $1$ .

$- \frac{1}{4 \cdot 1^{\frac{3}{3}}}$

Bước 1.8.3.5

Chia $3$ cho $3$ .

$- \frac{1}{4 \cdot 1^{1}}$

Bước 1.8.4

Rút gọn $4 \cdot 1^{1}$ .

$- \frac{1}{4}$

Bước 2

Thế hệ số góc và tọa độ điểm vào công thức phương trình đường thẳng dạng hệ số góc và giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Sử dụng hệ số góc $- \frac{1}{4}$ và một điểm đã cho $(1, 1)$ để thay $x_{1}$ và $y_{1}$ ở dạng biết một điểm và hệ số góc $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , được tìm từ phương trình hệ số góc $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = - \frac{1}{4} \cdot (x - (1))$

Bước 2.2

Rút gọn phương trình và giữ nó ở dạng biết một điểm và hệ số góc.

$y - 1 = - \frac{1}{4} \cdot (x - 1)$

Bước 2.3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Rút gọn $- \frac{1}{4} \cdot (x - 1)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1

Viết lại.

$y - 1 = 0 + 0 - \frac{1}{4} \cdot (x - 1)$

Bước 2.3.1.2

Rút gọn bằng cách cộng các số 0.

$y - 1 = - \frac{1}{4} \cdot (x - 1)$

Bước 2.3.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y - 1 = - \frac{1}{4} x - \frac{1}{4} \cdot - 1$

Bước 2.3.1.4

Kết hợp $x$ và $\frac{1}{4}$ .

$y - 1 = - \frac{x}{4} - \frac{1}{4} \cdot - 1$

Bước 2.3.1.5

Nhân $- \frac{1}{4} \cdot - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.5.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$y - 1 = - \frac{x}{4} + 1 (\frac{1}{4})$

Bước 2.3.1.5.2

Nhân $\frac{1}{4}$ với $1$ .

$y - 1 = - \frac{x}{4} + \frac{1}{4}$

Bước 2.3.2

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $y$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$y = - \frac{x}{4} + \frac{1}{4} + 1$

Bước 2.3.2.2

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$y = - \frac{x}{4} + \frac{1}{4} + \frac{4}{4}$

Bước 2.3.2.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y = - \frac{x}{4} + \frac{1 + 4}{4}$

Bước 2.3.2.4

Cộng $1$ và $4$ .

$y = - \frac{x}{4} + \frac{5}{4}$

Bước 2.3.3

Viết dưới dạng $y = m x + b$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.1

Sắp xếp lại các số hạng.

$y = - (\frac{1}{4} x) + \frac{5}{4}$

Bước 2.3.3.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$y = - \frac{1}{4} x + \frac{5}{4}$

Bước 3