Giải tích Ví dụ

$lim_{n \to 8} {(\frac{n - 3}{n})}^{n}$

Bước 1

Sử dụng các tính chất của logarit để rút gọn giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Viết lại ${(\frac{n - 3}{n})}^{n}$ ở dạng $e^{\ln ({(\frac{n - 3}{n})}^{n})}$ .

$lim_{n \to 8} e^{\ln ({(\frac{n - 3}{n})}^{n})}$

Bước 1.2

Khai triển $\ln ({(\frac{n - 3}{n})}^{n})$ bằng cách di chuyển $n$ ra bên ngoài lôgarit.

$lim_{n \to 8} e^{n \ln (\frac{n - 3}{n})}$

Bước 2

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Đưa giới hạn vào trong số mũ.

$e^{lim_{n \to 8} n \ln (\frac{n - 3}{n})}$

Bước 2.2

Tách giới hạn bằng quy tắc tích của giới hạn trên giới hạn khi $n$ tiến dần đến $8$ .

$e^{lim_{n \to 8} n \cdot lim_{n \to 8} \ln (\frac{n - 3}{n})}$

Bước 2.3

Chuyển giới hạn vào bên trong logarit.

$e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (lim_{n \to 8} \frac{n - 3}{n})}$

Bước 2.4

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $n$ tiến dần đến $8$ .

$e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (\frac{lim_{n \to 8} n - 3}{lim_{n \to 8} n})}$

Bước 2.5

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $n$ tiến dần đến $8$ .

$e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (\frac{lim_{n \to 8} n - lim_{n \to 8} 3}{lim_{n \to 8} n})}$

Bước 2.6

Tính giới hạn của $3$ mà không đổi khi $n$ tiến dần đến $8$ .

$e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (\frac{lim_{n \to 8} n - 1 \cdot 3}{lim_{n \to 8} n})}$

Bước 3

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $8$ cho tất cả các lần xảy ra của $n$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tính giới hạn của $n$ bằng cách điền vào $8$ cho $n$ .

$e^{8 \cdot \ln (\frac{lim_{n \to 8} n - 1 \cdot 3}{lim_{n \to 8} n})}$

Bước 3.2

Tính giới hạn của $n$ bằng cách điền vào $8$ cho $n$ .

$e^{8 \cdot \ln (\frac{8 - 1 \cdot 3}{lim_{n \to 8} n})}$

Bước 3.3

Tính giới hạn của $n$ bằng cách điền vào $8$ cho $n$ .

$e^{8 \cdot \ln (\frac{8 - 1 \cdot 3}{8})}$

Bước 4

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Rút gọn $8 \cdot \ln (\frac{8 - 1 \cdot 3}{8})$ bằng cách di chuyển $8$ trong logarit.

$e^{\ln ({(\frac{8 - 1 \cdot 3}{8})}^{8})}$

Bước 4.2

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

${(\frac{8 - 1 \cdot 3}{8})}^{8}$

Bước 4.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Nhân $- 1$ với $3$ .

${(\frac{8 - 3}{8})}^{8}$

Bước 4.3.2

Trừ $3$ khỏi $8$ .

${(\frac{5}{8})}^{8}$

Bước 4.4

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{5}{8}$ .

$\frac{5^{8}}{8^{8}}$

Bước 4.5

Nâng $5$ lên lũy thừa $8$ .

$\frac{390625}{8^{8}}$

Bước 4.6

Nâng $8$ lên lũy thừa $8$ .

$\frac{390625}{16777216}$

Bước 5

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{390625}{16777216}$

Dạng thập phân:

$0.02328306 \dots$