Giải tích Ví dụ

$\frac{lim_{x \to 0} \sin^{2} (5 x^{2}) + \sin^{2} (3 x)}{x^{2}}$

Bước 1

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} \sin^{2} (5 x^{2}) + lim_{x \to 0} \sin^{2} (3 x)}{x^{2}}$

Bước 2

Đưa số mũ $2$ từ $\sin^{2} (5 x^{2})$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$\frac{{(lim_{x \to 0} \sin (5 x^{2}))}^{2} + lim_{x \to 0} \sin^{2} (3 x)}{x^{2}}$

Bước 3

Di chuyển giới hạn vào trong hàm lượng giác vì sin liên tục.

$\frac{\sin^{2} (lim_{x \to 0} 5 x^{2}) + lim_{x \to 0} \sin^{2} (3 x)}{x^{2}}$

Bước 4

Chuyển số hạng $5$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{\sin^{2} (5 lim_{x \to 0} x^{2}) + lim_{x \to 0} \sin^{2} (3 x)}{x^{2}}$

Bước 5

Đưa số mũ $2$ từ $x^{2}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$\frac{\sin^{2} (5 {(lim_{x \to 0} x)}^{2}) + lim_{x \to 0} \sin^{2} (3 x)}{x^{2}}$

Bước 6

Đưa số mũ $2$ từ $\sin^{2} (3 x)$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$\frac{\sin^{2} (5 {(lim_{x \to 0} x)}^{2}) + {(lim_{x \to 0} \sin (3 x))}^{2}}{x^{2}}$

Bước 7

Di chuyển giới hạn vào trong hàm lượng giác vì sin liên tục.

$\frac{\sin^{2} (5 {(lim_{x \to 0} x)}^{2}) + \sin^{2} (lim_{x \to 0} 3 x)}{x^{2}}$

Bước 8

Chuyển số hạng $3$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{\sin^{2} (5 {(lim_{x \to 0} x)}^{2}) + \sin^{2} (3 lim_{x \to 0} x)}{x^{2}}$

Bước 9

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $0$ cho tất cả các lần xảy ra của $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $0$ cho $x$ .

$\frac{\sin^{2} (5 \cdot 0^{2}) + \sin^{2} (3 lim_{x \to 0} x)}{x^{2}}$

Bước 9.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $0$ cho $x$ .

$\frac{\sin^{2} (5 \cdot 0^{2}) + \sin^{2} (3 \cdot 0)}{x^{2}}$

Bước 10

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$\frac{\sin^{2} (5 \cdot 0) + \sin^{2} (3 \cdot 0)}{x^{2}}$

Bước 10.1.2

Nhân $5$ với $0$ .

$\frac{\sin^{2} (0) + \sin^{2} (3 \cdot 0)}{x^{2}}$

Bước 10.1.3

Giá trị chính xác của $\sin (0)$ là $0$ .

$\frac{0^{2} + \sin^{2} (3 \cdot 0)}{x^{2}}$

Bước 10.1.4

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$\frac{0 + \sin^{2} (3 \cdot 0)}{x^{2}}$

Bước 10.1.5

Nhân $3$ với $0$ .

$\frac{0 + \sin^{2} (0)}{x^{2}}$

Bước 10.1.6

Giá trị chính xác của $\sin (0)$ là $0$ .

$\frac{0 + 0^{2}}{x^{2}}$

Bước 10.1.7

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$\frac{0 + 0}{x^{2}}$

Bước 10.1.8

Cộng $0$ và $0$ .

$\frac{0}{x^{2}}$

Bước 10.2

Chia $0$ cho $x^{2}$ .

$0$