Giải tích Ví dụ

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{3}} 2 \cos^{2} (x) + 3 \cos (x) - 2}{2 \cos (x) - 1}$

Bước 1

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $\frac{π}{3}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{3}} 2 \cos^{2} (x) + lim_{x \to \frac{π}{3}} 3 \cos (x) - lim_{x \to \frac{π}{3}} 2}{2 \cos (x) - 1}$

Bước 2

Chuyển số hạng $2$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to \frac{π}{3}} \cos^{2} (x) + lim_{x \to \frac{π}{3}} 3 \cos (x) - lim_{x \to \frac{π}{3}} 2}{2 \cos (x) - 1}$

Bước 3

Đưa số mũ $2$ từ $\cos^{2} (x)$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$\frac{2 {(lim_{x \to \frac{π}{3}} \cos (x))}^{2} + lim_{x \to \frac{π}{3}} 3 \cos (x) - lim_{x \to \frac{π}{3}} 2}{2 \cos (x) - 1}$

Bước 4

Di chuyển giới hạn vào trong hàm lượng giác vì cosin liên tục.

$\frac{2 \cos^{2} (lim_{x \to \frac{π}{3}} x) + lim_{x \to \frac{π}{3}} 3 \cos (x) - lim_{x \to \frac{π}{3}} 2}{2 \cos (x) - 1}$

Bước 5

Chuyển số hạng $3$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{2 \cos^{2} (lim_{x \to \frac{π}{3}} x) + 3 lim_{x \to \frac{π}{3}} \cos (x) - lim_{x \to \frac{π}{3}} 2}{2 \cos (x) - 1}$

Bước 6

Di chuyển giới hạn vào trong hàm lượng giác vì cosin liên tục.

$\frac{2 \cos^{2} (lim_{x \to \frac{π}{3}} x) + 3 \cos (lim_{x \to \frac{π}{3}} x) - lim_{x \to \frac{π}{3}} 2}{2 \cos (x) - 1}$

Bước 7

Tính giới hạn của $2$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $\frac{π}{3}$ .

$\frac{2 \cos^{2} (lim_{x \to \frac{π}{3}} x) + 3 \cos (lim_{x \to \frac{π}{3}} x) - 1 \cdot 2}{2 \cos (x) - 1}$

Bước 8

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $\frac{π}{3}$ cho tất cả các lần xảy ra của $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $\frac{π}{3}$ cho $x$ .

$\frac{2 \cos^{2} (\frac{π}{3}) + 3 \cos (lim_{x \to \frac{π}{3}} x) - 1 \cdot 2}{2 \cos (x) - 1}$

Bước 8.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $\frac{π}{3}$ cho $x$ .

$\frac{2 \cos^{2} (\frac{π}{3}) + 3 \cos (\frac{π}{3}) - 1 \cdot 2}{2 \cos (x) - 1}$

Bước 9

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1

Phân tích thành thừa số bằng cách nhóm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1.1

Đối với đa thức có dạng $a x^{2} + b x + c$ , hãy viết lại số hạng ở giữa là tổng của hai số hạng có tích là $a \cdot c = 2 \cdot - 2 = - 4$ và có tổng là $b = 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1.1.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{2 \cos^{2} (\frac{π}{3}) + 3 \cos (\frac{π}{3}) - 2}{2 \cos (x) - 1}$

Bước 9.1.1.1.2

Đưa $3$ ra ngoài $3 \cos (\frac{π}{3})$ .

$\frac{2 \cos^{2} (\frac{π}{3}) + 3 (\cos (\frac{π}{3})) - 2}{2 \cos (x) - 1}$

Bước 9.1.1.1.3

Viết lại $3$ ở dạng $- 1$ cộng $4$

$\frac{2 \cos^{2} (\frac{π}{3}) + (- 1 + 4) \cos (\frac{π}{3}) - 2}{2 \cos (x) - 1}$

Bước 9.1.1.1.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2 \cos^{2} (\frac{π}{3}) - 1 \cos (\frac{π}{3}) + 4 \cos (\frac{π}{3}) - 2}{2 \cos (x) - 1}$

Bước 9.1.1.2

Đưa ước số chung lớn nhất từ từng nhóm ra ngoài.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1.2.1

Nhóm hai số hạng đầu tiên và hai số hạng cuối.

$\frac{(2 \cos^{2} (\frac{π}{3}) - 1 \cos (\frac{π}{3})) + 4 \cos (\frac{π}{3}) - 2}{2 \cos (x) - 1}$

Bước 9.1.1.2.2

Đưa ước số chung lớn nhất (ƯCLN) từ từng nhóm ra ngoài.

$\frac{\cos (\frac{π}{3}) (2 \cos (\frac{π}{3}) - 1) + 2 (2 \cos (\frac{π}{3}) - 1)}{2 \cos (x) - 1}$

Bước 9.1.1.3

Phân tích đa thức thành thừa số bằng cách đưa ước số chung lớn nhất ra ngoài, $2 \cos (\frac{π}{3}) - 1$ .

$\frac{(2 \cos (\frac{π}{3}) - 1) (\cos (\frac{π}{3}) + 2)}{2 \cos (x) - 1}$

Bước 9.1.2

Giá trị chính xác của $\cos (\frac{π}{3})$ là $\frac{1}{2}$ .

$\frac{(2 (\frac{1}{2}) - 1) (\cos (\frac{π}{3}) + 2)}{2 \cos (x) - 1}$

Bước 9.1.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{(2 (\frac{1}{2}) - 1) (\cos (\frac{π}{3}) + 2)}{2 \cos (x) - 1}$

Bước 9.1.3.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{(1 - 1) (\cos (\frac{π}{3}) + 2)}{2 \cos (x) - 1}$

Bước 9.1.4

Trừ $1$ khỏi $1$ .

$\frac{0 (\cos (\frac{π}{3}) + 2)}{2 \cos (x) - 1}$

Bước 9.1.5

Giá trị chính xác của $\cos (\frac{π}{3})$ là $\frac{1}{2}$ .

$\frac{0 (\frac{1}{2} + 2)}{2 \cos (x) - 1}$

Bước 9.1.6

Để viết $2$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{0 (\frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2})}{2 \cos (x) - 1}$

Bước 9.1.7

Kết hợp $2$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{0 (\frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2})}{2 \cos (x) - 1}$

Bước 9.1.8

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{0 \frac{1 + 2 \cdot 2}{2}}{2 \cos (x) - 1}$

Bước 9.1.9

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.9.1

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{0 \frac{1 + 4}{2}}{2 \cos (x) - 1}$

Bước 9.1.9.2

Cộng $1$ và $4$ .

$\frac{0 (\frac{5}{2})}{2 \cos (x) - 1}$

Bước 9.2

Nhân $0$ với $\frac{5}{2}$ .

$\frac{0}{2 \cos (x) - 1}$

Bước 9.3

Chia $0$ cho $2 \cos (x) - 1$ .

$0$