Giải tích Ví dụ

$\frac{lim_{x \to 0} {(1 + h)}^{4} - 1}{h}$

Bước 1

Tính giới hạn của ${(1 + h)}^{4} - 1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{{(1 + h)}^{4} - 1}{h}$

Bước 2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Viết lại ${(1 + h)}^{4}$ ở dạng ${({(1 + h)}^{2})}^{2}$ .

$\frac{{({(1 + h)}^{2})}^{2} - 1}{h}$

Bước 2.1.2

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$\frac{{({(1 + h)}^{2})}^{2} - 1^{2}}{h}$

Bước 2.1.3

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = {(1 + h)}^{2}$ và $b = 1$ .

$\frac{({(1 + h)}^{2} + 1) ({(1 + h)}^{2} - 1)}{h}$

Bước 2.1.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.4.1

Viết lại ${(1 + h)}^{2}$ ở dạng $(1 + h) (1 + h)$ .

$\frac{((1 + h) (1 + h) + 1) ({(1 + h)}^{2} - 1)}{h}$

Bước 2.1.4.2

Khai triển $(1 + h) (1 + h)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.4.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{(1 (1 + h) + h (1 + h) + 1) ({(1 + h)}^{2} - 1)}{h}$

Bước 2.1.4.2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{(1 \cdot 1 + 1 h + h (1 + h) + 1) ({(1 + h)}^{2} - 1)}{h}$

Bước 2.1.4.2.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{(1 \cdot 1 + 1 h + h \cdot 1 + h \cdot h + 1) ({(1 + h)}^{2} - 1)}{h}$

Bước 2.1.4.3

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.4.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.4.3.1.1

Nhân $1$ với $1$ .

$\frac{(1 + 1 h + h \cdot 1 + h \cdot h + 1) ({(1 + h)}^{2} - 1)}{h}$

Bước 2.1.4.3.1.2

Nhân $h$ với $1$ .

$\frac{(1 + h + h \cdot 1 + h \cdot h + 1) ({(1 + h)}^{2} - 1)}{h}$

Bước 2.1.4.3.1.3

Nhân $h$ với $1$ .

$\frac{(1 + h + h + h \cdot h + 1) ({(1 + h)}^{2} - 1)}{h}$

Bước 2.1.4.3.1.4

Nhân $h$ với $h$ .

$\frac{(1 + h + h + h^{2} + 1) ({(1 + h)}^{2} - 1)}{h}$

Bước 2.1.4.3.2

Cộng $h$ và $h$ .

$\frac{(1 + 2 h + h^{2} + 1) ({(1 + h)}^{2} - 1)}{h}$

Bước 2.1.4.4

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{(2 h + h^{2} + 2) ({(1 + h)}^{2} - 1)}{h}$

Bước 2.1.4.5

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{(h^{2} + 2 h + 2) ({(1 + h)}^{2} - 1)}{h}$

Bước 2.1.4.6

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$\frac{(h^{2} + 2 h + 2) ({(1 + h)}^{2} - 1^{2})}{h}$

Bước 2.1.4.7

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = 1 + h$ và $b = 1$ .

$\frac{(h^{2} + 2 h + 2) ((1 + h + 1) (1 + h - 1))}{h}$

Bước 2.1.4.8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.4.8.1

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{(h^{2} + 2 h + 2) ((h + 2) (1 + h - 1))}{h}$

Bước 2.1.4.8.2

Trừ $1$ khỏi $1$ .

$\frac{(h^{2} + 2 h + 2) ((h + 2) (h + 0))}{h}$

Bước 2.1.4.8.3

Cộng $h$ và $0$ .

$\frac{(h^{2} + 2 h + 2) ((h + 2) h)}{h}$

$\frac{(h^{2} + 2 h + 2) (h + 2) h}{h}$

Bước 2.2

Triệt tiêu thừa số chung $h$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{(h^{2} + 2 h + 2) (h + 2) h}{h}$

Bước 2.2.2

Chia $(h^{2} + 2 h + 2) (h + 2)$ cho $1$ .

$(h^{2} + 2 h + 2) (h + 2)$

Bước 2.3

Khai triển $(h^{2} + 2 h + 2) (h + 2)$ bằng cách nhân mỗi số hạng trong biểu thức thứ nhất với mỗi số hạng trong biểu thức thứ hai.

$h^{2} h + h^{2} \cdot 2 + 2 h \cdot h + 2 h \cdot 2 + 2 h + 2 \cdot 2$

Bước 2.4

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Nhân $h^{2}$ với $h$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1.1

Nhân $h^{2}$ với $h$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1.1.1

Nâng $h$ lên lũy thừa $1$ .

$h^{2} h^{1} + h^{2} \cdot 2 + 2 h \cdot h + 2 h \cdot 2 + 2 h + 2 \cdot 2$

Bước 2.4.1.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$h^{2 + 1} + h^{2} \cdot 2 + 2 h \cdot h + 2 h \cdot 2 + 2 h + 2 \cdot 2$

Bước 2.4.1.2

Cộng $2$ và $1$ .

$h^{3} + h^{2} \cdot 2 + 2 h \cdot h + 2 h \cdot 2 + 2 h + 2 \cdot 2$

Bước 2.4.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $h^{2}$ .

$h^{3} + 2 \cdot h^{2} + 2 h \cdot h + 2 h \cdot 2 + 2 h + 2 \cdot 2$

Bước 2.4.3

Nhân $h$ với $h$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.3.1

Di chuyển $h$ .

$h^{3} + 2 h^{2} + 2 (h \cdot h) + 2 h \cdot 2 + 2 h + 2 \cdot 2$

Bước 2.4.3.2

Nhân $h$ với $h$ .

$h^{3} + 2 h^{2} + 2 h^{2} + 2 h \cdot 2 + 2 h + 2 \cdot 2$

Bước 2.4.4

Nhân $2$ với $2$ .

$h^{3} + 2 h^{2} + 2 h^{2} + 4 h + 2 h + 2 \cdot 2$

Bước 2.4.5

Nhân $2$ với $2$ .

$h^{3} + 2 h^{2} + 2 h^{2} + 4 h + 2 h + 4$

Bước 2.5

Cộng $2 h^{2}$ và $2 h^{2}$ .

$h^{3} + 4 h^{2} + 4 h + 2 h + 4$

Bước 2.6

Cộng $4 h$ và $2 h$ .

$h^{3} + 4 h^{2} + 6 h + 4$