Giải tích Ví dụ

$2 \ln (\sec (x))$

Bước 1

Tìm các tiệm cận.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Đối với bất kỳ $y = \sec (x)$ , các tiệm cận đứng xảy ra tại $x = \frac{π}{2} + n π$ , trong đó $n$ là một số nguyên. Sử dụng chu kì cơ bản cho $y = s e c (x)$ , $(- \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2})$ , để tìm các tiệm cận đứng cho $y = \ln (\sec^{2} (x))$ . Đặt phần bên trong của hàm secant, $b x + c$ , cho $y = a \sec (b x + c) + d$ bằng $- \frac{π}{2}$ để tìm vị trí của tiệm cận đứng cho $y = \ln (\sec^{2} (x))$ .

$\sec^{2} (x) = - \frac{π}{2}$

Bước 1.2

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của phương trình để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$\sec (x) = \pm \sqrt{- \frac{π}{2}}$

Bước 1.2.2

Rút gọn $\pm \sqrt{- \frac{π}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.1

Viết lại $- 1$ ở dạng $i^{2}$ .

$\sec (x) = \pm \sqrt{i^{2} \frac{π}{2}}$

Bước 1.2.2.2

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$\sec (x) = \pm i \sqrt{\frac{π}{2}}$

Bước 1.2.2.3

Viết lại $\sqrt{\frac{π}{2}}$ ở dạng $\frac{\sqrt{π}}{\sqrt{2}}$ .

$\sec (x) = \pm i \frac{\sqrt{π}}{\sqrt{2}}$

Bước 1.2.2.4

Nhân $\frac{\sqrt{π}}{\sqrt{2}}$ với $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sec (x) = \pm i (\frac{\sqrt{π}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Bước 1.2.2.5

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.5.1

Nhân $\frac{\sqrt{π}}{\sqrt{2}}$ với $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sec (x) = \pm i \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Bước 1.2.2.5.2

Nâng $\sqrt{2}$ lên lũy thừa $1$ .

$\sec (x) = \pm i \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Bước 1.2.2.5.3

Nâng $\sqrt{2}$ lên lũy thừa $1$ .

$\sec (x) = \pm i \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Bước 1.2.2.5.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\sec (x) = \pm i \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Bước 1.2.2.5.5

Cộng $1$ và $1$ .

$\sec (x) = \pm i \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Bước 1.2.2.5.6

Viết lại ${\sqrt{2}}^{2}$ ở dạng $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.5.6.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{2}$ ở dạng $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sec (x) = \pm i \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Bước 1.2.2.5.6.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sec (x) = \pm i \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Bước 1.2.2.5.6.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\sec (x) = \pm i \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Bước 1.2.2.5.6.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.5.6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\sec (x) = \pm i \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Bước 1.2.2.5.6.4.2

Viết lại biểu thức.

$\sec (x) = \pm i \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{2^{1}}$

Bước 1.2.2.5.6.5

Tính số mũ.

$\sec (x) = \pm i \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{2}$

Bước 1.2.2.6

Kết hợp bằng các sử dụng quy tắc tích số cho các căn thức.

$\sec (x) = \pm i \frac{\sqrt{π \cdot 2}}{2}$

Bước 1.2.2.7

Kết hợp $i$ và $\frac{\sqrt{π \cdot 2}}{2}$ .

$\sec (x) = \pm \frac{i \sqrt{π \cdot 2}}{2}$

Bước 1.2.2.8

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $π$ .

$\sec (x) = \pm \frac{i \sqrt{2 π}}{2}$

Bước 1.2.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.1

Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của $\pm$ để tìm đáp án đầu tiên.

$\sec (x) = \frac{i \sqrt{2 π}}{2}$

Bước 1.2.3.2

Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của $\pm$ để tìm đáp án thứ hai.

$\sec (x) = - \frac{i \sqrt{2 π}}{2}$

Bước 1.2.3.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

$\sec (x) = \frac{i \sqrt{2 π}}{2}, - \frac{i \sqrt{2 π}}{2}$

Bước 1.2.4

Lập từng đáp án để giải tìm $x$ .

$\sec (x) = \frac{i \sqrt{2 π}}{2}$

$\sec (x) = - \frac{i \sqrt{2 π}}{2}$

Bước 1.2.5

Giải tìm $x$ trong $\sec (x) = \frac{i \sqrt{2 π}}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.5.1

Lấy secant nghịch đảo của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ bên trong secant.

$x = arcsec (\frac{i \sqrt{2 π}}{2})$

Bước 1.2.5.2

The inverse secant of $arcsec (\frac{i \sqrt{2 π}}{2})$ is undefined.

Không xác định

Bước 1.2.6

Giải tìm $x$ trong $\sec (x) = - \frac{i \sqrt{2 π}}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.6.1

Lấy secant nghịch đảo của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ bên trong secant.

$x = arcsec (- \frac{i \sqrt{2 π}}{2})$

Bước 1.2.6.2

The inverse secant of $arcsec (- \frac{i \sqrt{2 π}}{2})$ is undefined.

Không xác định

Bước 1.2.7

Liệt kê tất cả các đáp án.

Không có đáp án

Bước 1.3

Đặt phần bên trong hàm secant $\sec^{2} (x)$ bằng $\frac{3 π}{2}$ .

$\sec^{2} (x) = \frac{3 π}{2}$

Bước 1.4

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của phương trình để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$\sec (x) = \pm \sqrt{\frac{3 π}{2}}$

Bước 1.4.2

Rút gọn $\pm \sqrt{\frac{3 π}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.2.1

Viết lại $\sqrt{\frac{3 π}{2}}$ ở dạng $\frac{\sqrt{3 π}}{\sqrt{2}}$ .

$\sec (x) = \pm \frac{\sqrt{3 π}}{\sqrt{2}}$

Bước 1.4.2.2

Nhân $\frac{\sqrt{3 π}}{\sqrt{2}}$ với $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sec (x) = \pm \frac{\sqrt{3 π}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Bước 1.4.2.3

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.2.3.1

Nhân $\frac{\sqrt{3 π}}{\sqrt{2}}$ với $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sec (x) = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Bước 1.4.2.3.2

Nâng $\sqrt{2}$ lên lũy thừa $1$ .

$\sec (x) = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Bước 1.4.2.3.3

Nâng $\sqrt{2}$ lên lũy thừa $1$ .

$\sec (x) = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Bước 1.4.2.3.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\sec (x) = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Bước 1.4.2.3.5

Cộng $1$ và $1$ .

$\sec (x) = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Bước 1.4.2.3.6

Viết lại ${\sqrt{2}}^{2}$ ở dạng $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.2.3.6.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{2}$ ở dạng $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sec (x) = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Bước 1.4.2.3.6.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sec (x) = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Bước 1.4.2.3.6.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\sec (x) = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Bước 1.4.2.3.6.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.2.3.6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\sec (x) = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Bước 1.4.2.3.6.4.2

Viết lại biểu thức.

$\sec (x) = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{2^{1}}$

Bước 1.4.2.3.6.5

Tính số mũ.

$\sec (x) = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{2}$

Bước 1.4.2.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.2.4.1

Kết hợp bằng các sử dụng quy tắc tích số cho các căn thức.

$\sec (x) = \pm \frac{\sqrt{3 π \cdot 2}}{2}$

Bước 1.4.2.4.2

Nhân $2$ với $3$ .

$\sec (x) = \pm \frac{\sqrt{6 π}}{2}$

Bước 1.4.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.3.1

Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của $\pm$ để tìm đáp án đầu tiên.

$\sec (x) = \frac{\sqrt{6 π}}{2}$

Bước 1.4.3.2

Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của $\pm$ để tìm đáp án thứ hai.

$\sec (x) = - \frac{\sqrt{6 π}}{2}$

Bước 1.4.3.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

$\sec (x) = \frac{\sqrt{6 π}}{2}, - \frac{\sqrt{6 π}}{2}$

Bước 1.4.4

Lập từng đáp án để giải tìm $x$ .

$\sec (x) = \frac{\sqrt{6 π}}{2}$

$\sec (x) = - \frac{\sqrt{6 π}}{2}$

Bước 1.4.5

Giải tìm $x$ trong $\sec (x) = \frac{\sqrt{6 π}}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.5.1

Lấy secant nghịch đảo của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ bên trong secant.

$x = arcsec (\frac{\sqrt{6 π}}{2})$

Bước 1.4.5.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.5.2.1

Tính $arcsec (\frac{\sqrt{6 π}}{2})$ .

$x = 1.09205895$

Bước 1.4.5.3

Hàm secant dương trong góc phần tư thứ nhất và thứ tư. Để tìm đáp án thứ hai, trừ góc tham chiếu từ $2 π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ tư.

$x = 2 (3.14159265) - 1.09205895$

Bước 1.4.5.4

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.5.4.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$x = 2 (3.14159265) - 1.09205895$

Bước 1.4.5.4.2

Rút gọn $2 (3.14159265) - 1.09205895$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.5.4.2.1

Nhân $2$ với $3.14159265$ .

$x = 6.2831853 - 1.09205895$

Bước 1.4.5.4.2.2

Trừ $1.09205895$ khỏi $6.2831853$ .

$x = 5.19112635$

Bước 1.4.5.5

Tìm chu kỳ của $\sec (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.5.5.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Bước 1.4.5.5.2

Thay thế $b$ với $1$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Bước 1.4.5.5.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Bước 1.4.5.5.4

Chia $2 π$ cho $1$ .

$2 π$

Bước 1.4.5.6

Chu kỳ của hàm $\sec (x)$ là $2 π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $2 π$ radian theo cả hai hướng.

$x = 1.09205895 + 2 π n, 5.19112635 + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 1.4.6

Giải tìm $x$ trong $\sec (x) = - \frac{\sqrt{6 π}}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.6.1

Lấy secant nghịch đảo của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ bên trong secant.

$x = arcsec (- \frac{\sqrt{6 π}}{2})$

Bước 1.4.6.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.6.2.1

Tính $arcsec (- \frac{\sqrt{6 π}}{2})$ .

$x = 2.0495337$

Bước 1.4.6.3

Hàm secant âm trong góc phần tư thứ hai và thứ ba. Để tìm đáp án thứ hai, trừ góc tham chiếu từ $2 π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ ba.

$x = 2 (3.14159265) - 2.0495337$

Bước 1.4.6.4

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.6.4.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$x = 2 (3.14159265) - 2.0495337$

Bước 1.4.6.4.2

Rút gọn $2 (3.14159265) - 2.0495337$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.6.4.2.1

Nhân $2$ với $3.14159265$ .

$x = 6.2831853 - 2.0495337$

Bước 1.4.6.4.2.2

Trừ $2.0495337$ khỏi $6.2831853$ .

$x = 4.2336516$

Bước 1.4.6.5

Tìm chu kỳ của $\sec (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.6.5.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Bước 1.4.6.5.2

Thay thế $b$ với $1$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Bước 1.4.6.5.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Bước 1.4.6.5.4

Chia $2 π$ cho $1$ .

$2 π$

Bước 1.4.6.6

Chu kỳ của hàm $\sec (x)$ là $2 π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $2 π$ radian theo cả hai hướng.

$x = 2.0495337 + 2 π n, 4.2336516 + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 1.4.7

Liệt kê tất cả các đáp án.

$x = 1.09205895 + 2 π n, 5.19112635 + 2 π n, 2.0495337 + 2 π n, 4.2336516 + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 1.4.8

Hợp nhất các đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.8.1

Hợp nhất $1.09205895 + 2 π n$ và $4.2336516 + 2 π n$ để $1.09205895 + π n$ .

$x = 1.09205895 + π n, 5.19112635 + 2 π n, 2.0495337 + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 1.4.8.2

Hợp nhất $5.19112635 + 2 π n$ và $2.0495337 + 2 π n$ để $2.0495337 + π n$ .

$x = 1.09205895 + π n, 2.0495337 + π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 1.5

Chu kỳ cơ bản cho $y = \ln (\sec^{2} (x))$ sẽ xảy ra tại $(, 1.09205895 + π n, 2.0495337 + π n)$ , nơi và $1.09205895 + π n, 2.0495337 + π n$ là các tiệm cận đứng.

$(, 1.09205895 + π n, 2.0495337 + π n)$

Bước 1.6

Tìm chu kỳ $\frac{2 π}{| b |}$ để tìm nơi các tiệm cận đứng tồn tại. Tiệm cận đứng xảy ra mỗi nửa chu kỳ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.1

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Bước 1.6.2

Chia $2 π$ cho $1$ .

$2 π$

Bước 1.7

Các tiệm cận đứng cho $y = \ln (\sec^{2} (x))$ xảy ra tại , $1.09205895 + π n, 2.0495337 + π n$ và mỗi $π n$ , trong đó $n$ là một số nguyên. Đây là nửa chu kỳ.

$π n$

Bước 1.8

Chỉ có các tiệm cận đứng cho các hàm secant và cosecant.

Các tiệm cận đứng: $x = π n$ cho mọi số nguyên $n$

Không có các tiệm cận ngang

Không có các tiệm cận xiên

Các tiệm cận đứng: $x = π n$ cho mọi số nguyên $n$

Không có các tiệm cận ngang

Không có các tiệm cận xiên

Bước 2

Tìm một điểm tại $x = 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Thay thế biến $x$ bằng $1$ trong biểu thức.

$f (1) = 2 \ln (\sec (1))$

Bước 2.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Tính $\sec (1)$ .

$f (1) = 2 \ln (1.85081571)$

Bước 2.2.2

Rút gọn $2 \ln (1.85081571)$ bằng cách di chuyển $2$ trong logarit.

$f (1) = \ln ({1.85081571}^{2})$

Bước 2.2.3

Nâng $1.85081571$ lên lũy thừa $2$ .

$f (1) = \ln (3.42551882)$

Bước 2.2.4

Câu trả lời cuối cùng là $\ln (3.42551882)$ .

$\ln (3.42551882)$

Bước 3

Tìm một điểm tại $x = 5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Thay thế biến $x$ bằng $5$ trong biểu thức.

$f (5) = 2 \ln (\sec (5))$

Bước 3.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Tính $\sec (5)$ .

$f (5) = 2 \ln (3.52532008)$

Bước 3.2.2

Rút gọn $2 \ln (3.52532008)$ bằng cách di chuyển $2$ trong logarit.

$f (5) = \ln ({3.52532008}^{2})$

Bước 3.2.3

Nâng $3.52532008$ lên lũy thừa $2$ .

$f (5) = \ln (12.4278817)$

Bước 3.2.4

Câu trả lời cuối cùng là $\ln (12.4278817)$ .

$\ln (12.4278817)$

Bước 4

Tìm một điểm tại $x = 6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Thay thế biến $x$ bằng $6$ trong biểu thức.

$f (6) = 2 \ln (\sec (6))$

Bước 4.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Tính $\sec (6)$ .

$f (6) = 2 \ln (1.04148192)$

Bước 4.2.2

Rút gọn $2 \ln (1.04148192)$ bằng cách di chuyển $2$ trong logarit.

$f (6) = \ln ({1.04148192}^{2})$

Bước 4.2.3

Nâng $1.04148192$ lên lũy thừa $2$ .

$f (6) = \ln (1.0846846)$

Bước 4.2.4

Câu trả lời cuối cùng là $\ln (1.0846846)$ .

$\ln (1.0846846)$

Bước 5

Hàm logarit có thể được vẽ bằng tiệm cận đứng tại $x = π n (f o r) (a n y) (i n t e g e r) n$ và các điểm $(1, 1.23125294), (5, 2.51994247), (6, 0.08128925)$ .

Tiệm cận đứng: $x = π n (f o r) (a n y) (i n t e g e r) n$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 1.231 \\ 5 & 2.52 \\ 6 & 0.081 \end{array}$

Bước 6