Giải tích Ví dụ

$\ln (\sqrt{x + 1})$

Bước 1

Tìm tập xác định của $y = \ln (\sqrt{x + 1})$ sao cho có thể lấy được một danh sách các giá trị $x$ để tìm một danh sách các điểm giúp ta vẽ đồ thị hàm căn thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Đặt giá trị đối số trong $\ln (\sqrt{x + 1})$ lớn hơn $0$ để tìm nơi biểu thức xác định.

$\sqrt{x + 1} > 0$

Bước 1.2

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Để loại bỏ dấu căn ở vế trái của bất đẳng thức, ta bình phương cả hai vế của bất đẳng thức.

${\sqrt{x + 1}}^{2} > 0^{2}$

Bước 1.2.2

Rút gọn mỗi vế của bất đẳng thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x + 1}$ ở dạng ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} > 0^{2}$

Bước 1.2.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.2.1

Rút gọn ${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.2.1.1

Nhân các số mũ trong ${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.2.1.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} > 0^{2}$

Bước 1.2.2.2.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.2.1.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

${(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} > 0^{2}$

Bước 1.2.2.2.1.1.2.2

Viết lại biểu thức.

${(x + 1)}^{1} > 0^{2}$

Bước 1.2.2.2.1.2

Rút gọn.

$x + 1 > 0^{2}$

Bước 1.2.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.3.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$x + 1 > 0$

Bước 1.2.3

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của bất đẳng thức.

$x > - 1$

Bước 1.2.4

Tìm tập xác định của $\sqrt{x + 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.1

Đặt số trong dấu căn trong $\sqrt{x + 1}$ lớn hơn hoặc bằng $0$ để tìm nơi biểu thức xác định.

$x + 1 \geq 0$

Bước 1.2.4.2

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của bất đẳng thức.

$x \geq - 1$

Bước 1.2.4.3

Tập xác định là tất cả các giá trị của $x$ và làm cho biểu thức xác định.

$[- 1, \infty)$

Bước 1.2.5

Đáp án bao gồm tất cả các khoảng thực sự.

$x > - 1$

Bước 1.3

Đặt số trong dấu căn trong $\sqrt{x + 1}$ lớn hơn hoặc bằng $0$ để tìm nơi biểu thức xác định.

$x + 1 \geq 0$

Bước 1.4

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của bất đẳng thức.

$x \geq - 1$

Bước 1.5

Tập xác định là tất cả các giá trị của $x$ và làm cho biểu thức xác định.

Ký hiệu khoảng:

$(- 1, \infty)$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${x | x > - 1}$

Ký hiệu khoảng:

$(- 1, \infty)$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${x | x > - 1}$

Bước 2

Để tìm điểm cuối của biểu thức chứa căn, ta thay giá trị $x$ $- 1$ , là giá trị nhỏ nhất trong tập xác định, vào $f (x) = \ln (\sqrt{x + 1})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Thay thế biến $x$ bằng $- 1$ trong biểu thức.

$f (- 1) = \ln (\sqrt{(- 1) + 1})$

Bước 2.2

Cộng $- 1$ và $1$ .

$f (- 1) = \ln (\sqrt{0})$

Bước 2.3

Viết lại $0$ ở dạng $0^{2}$ .

$f (- 1) = \ln (\sqrt{0^{2}})$

Bước 2.4

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$f (- 1) = \ln (0)$

Bước 2.5

Logarit tự nhiên của 0 là không xác định.

$f (- 1) = Undefined$

Không xác định

Bước 3

Điểm cuối của biểu thức chứa căn là $(- 1, Undefined)$ .

$(- 1, Undefined)$

Bước 4

Chọn một vài giá trị $x$ từ tập xác định. Sẽ hữu ích hơn khi chọn các giá trị sao cho chúng nằm cạnh giá trị $x$ của điểm cuối của biểu thức chứa căn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Thay $x$ giá trị $0$ vào $f (x) = \ln (\sqrt{x + 1})$ . Trong trường hợp này, điểm là $(0, 0)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Thay thế biến $x$ bằng $0$ trong biểu thức.

$f (0) = \ln (\sqrt{(0) + 1})$

Bước 4.1.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1

Cộng $0$ và $1$ .

$f (0) = \ln (\sqrt{1})$

Bước 4.1.2.2

Bất cứ nghiệm nào của $1$ đều là $1$ .

$f (0) = \ln (1)$

Bước 4.1.2.3

Logarit tự nhiên của $1$ là $0$ .

$f (0) = 0$

Bước 4.1.2.4

Câu trả lời cuối cùng là $0$ .

$y = 0$

Bước 4.2

Thay $x$ giá trị $1$ vào $f (x) = \ln (\sqrt{x + 1})$ . Trong trường hợp này, điểm là $(1, \ln (\sqrt{2}))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Thay thế biến $x$ bằng $1$ trong biểu thức.

$f (1) = \ln (\sqrt{(1) + 1})$

Bước 4.2.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1

Cộng $1$ và $1$ .

$f (1) = \ln (\sqrt{2})$

Bước 4.2.2.2

Câu trả lời cuối cùng là $\ln (\sqrt{2})$ .

$y = \ln (\sqrt{2})$

Bước 4.3

Căn bậc hai có thể được biểu diễn bằng các điểm xung quanh đỉnh $(- 1, Undefined), (0, 0), (1, 0.35)$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & Undefined \\ 0 & 0 \\ 1 & 0.35 \end{array}$

Bước 5