Giải tích Ví dụ

$\frac{\ln (7 x + 5)}{e^{7 x + 5}}$

Bước 1

Tìm các tiệm cận.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm nơi biểu thức $\frac{\ln (7 x + 5)}{e^{7 x + 5}}$ không xác định.

$x \leq - \frac{5}{7}$

Bước 1.2

Vì $\frac{\ln (7 x + 5)}{e^{7 x + 5}}$ $\to$ $\infty$ khi $x$ $\to$ $- \frac{5}{7}$ từ phía bên trái và $\frac{\ln (7 x + 5)}{e^{7 x + 5}}$ $\to$ $- \infty$ khi $x$ $\to$ $- \frac{5}{7}$ từ phía bên phải, thì $x = - \frac{5}{7}$ là một tiệm cận đứng.

$x = - \frac{5}{7}$

Bước 1.3

Tính $lim_{x \to \infty} \frac{\ln (7 x + 5)}{e^{7 x + 5}}$ để tìm tiệm cận ngang.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Áp dụng quy tắc l'Hôpital

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1.1

Tính giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1.1.1

Lấy giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

$\frac{lim_{x \to \infty} \ln (7 x + 5)}{lim_{x \to \infty} e^{7 x + 5}}$

Bước 1.3.1.1.2

Vì logarit tiến dần đến vô cực, nên giá trị tiến đến $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{7 x + 5}}$

Bước 1.3.1.1.3

Vì số mũ $7 x + 5$ tiến dần đến $\infty$ , nên số lượng $e^{7 x + 5}$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty}$

Bước 1.3.1.1.4

Vô cùng chia cho vô cùng là không xác định.

Không xác định

$\frac{\infty}{\infty}$

Bước 1.3.1.2

Vì $\frac{\infty}{\infty}$ ở dạng không xác định, nên ta áp dụng quy tắc L'Hôpital. Quy tắc L'Hôpital khẳng định rằng giới hạn của một thương của các hàm số bằng giới hạn của thương của các đạo hàm của chúng.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (7 x + 5)}{e^{7 x + 5}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (7 x + 5)]}{\frac{d}{d x} [e^{7 x + 5}]}$

Bước 1.3.1.3

Tìm đạo hàm của tử số và mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1.3.1

Tính đạo hàm tử số và mẫu số.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (7 x + 5)]}{\frac{d}{d x} [e^{7 x + 5}]}$

Bước 1.3.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = 7 x + 5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1.3.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $7 x + 5$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [7 x + 5]}{\frac{d}{d x} [e^{7 x + 5}]}$

Bước 1.3.1.3.2.2

Đạo hàm của $\ln (u)$ đối với $u$ là $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [7 x + 5]}{\frac{d}{d x} [e^{7 x + 5}]}$

Bước 1.3.1.3.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $7 x + 5$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{7 x + 5} \frac{d}{d x} [7 x + 5]}{\frac{d}{d x} [e^{7 x + 5}]}$

Bước 1.3.1.3.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $7 x + 5$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{7 x + 5} (\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [5])}{\frac{d}{d x} [e^{7 x + 5}]}$

Bước 1.3.1.3.4

Vì $7$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $7 x$ đối với $x$ là $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{7 x + 5} (7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])}{\frac{d}{d x} [e^{7 x + 5}]}$

Bước 1.3.1.3.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{7 x + 5} (7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5])}{\frac{d}{d x} [e^{7 x + 5}]}$

Bước 1.3.1.3.6

Nhân $7$ với $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{7 x + 5} (7 + \frac{d}{d x} [5])}{\frac{d}{d x} [e^{7 x + 5}]}$

Bước 1.3.1.3.7

Vì $5$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $5$ đối với $x$ là $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{7 x + 5} (7 + 0)}{\frac{d}{d x} [e^{7 x + 5}]}$

Bước 1.3.1.3.8

Cộng $7$ và $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{7 x + 5} \cdot 7}{\frac{d}{d x} [e^{7 x + 5}]}$

Bước 1.3.1.3.9

Kết hợp $\frac{1}{7 x + 5}$ và $7$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{7 x + 5}}{\frac{d}{d x} [e^{7 x + 5}]}$

Bước 1.3.1.3.10

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = 7 x + 5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1.3.10.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $7 x + 5$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{7 x + 5}}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [7 x + 5]}$

Bước 1.3.1.3.10.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ là $a^{u} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{7 x + 5}}{e^{u} \frac{d}{d x} [7 x + 5]}$

Bước 1.3.1.3.10.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $7 x + 5$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{7 x + 5}}{e^{7 x + 5} \frac{d}{d x} [7 x + 5]}$

Bước 1.3.1.3.11

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $7 x + 5$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{7 x + 5}}{e^{7 x + 5} (\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [5])}$

Bước 1.3.1.3.12

Vì $7$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $7 x$ đối với $x$ là $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{7 x + 5}}{e^{7 x + 5} (7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])}$

Bước 1.3.1.3.13

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{7 x + 5}}{e^{7 x + 5} (7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5])}$

Bước 1.3.1.3.14

Nhân $7$ với $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{7 x + 5}}{e^{7 x + 5} (7 + \frac{d}{d x} [5])}$

Bước 1.3.1.3.15

Vì $5$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $5$ đối với $x$ là $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{7 x + 5}}{e^{7 x + 5} (7 + 0)}$

Bước 1.3.1.3.16

Cộng $7$ và $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{7 x + 5}}{e^{7 x + 5} \cdot 7}$

Bước 1.3.1.3.17

Di chuyển $7$ sang phía bên trái của $e^{7 x + 5}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{7 x + 5}}{7 e^{7 x + 5}}$

Bước 1.3.1.4

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$lim_{x \to \infty} \frac{7}{7 x + 5} \cdot \frac{1}{7 e^{7 x + 5}}$

Bước 1.3.1.5

Nhân $\frac{7}{7 x + 5}$ với $\frac{1}{7 e^{7 x + 5}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{7}{(7 x + 5) (7 e^{7 x + 5})}$

Bước 1.3.1.6

Triệt tiêu thừa số chung $7$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1.6.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$lim_{x \to \infty} \frac{7}{(7 x + 5) (7 e^{7 x + 5})}$

Bước 1.3.1.6.2

Viết lại biểu thức.

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{(7 x + 5) (e^{7 x + 5})}$

Bước 1.3.2

Vì tử số của nó tiến dần đến một số thực trong khi mẫu số của nó không có biên, nên phân số $\frac{1}{(7 x + 5) (e^{7 x + 5})}$ tiến dần đến $0$ .

$0$

Bước 1.4

Liệt kê các tiệm cận ngang:

$y = 0$

Bước 1.5

Không có tiệm cận xiên nào tồn tại cho các hàm logarit và hàm lượng giác.

Không có các tiệm cận xiên

Bước 1.6

Đây là tập hợp của tất cả các tiệm cận.

Các tiệm cận đứng: $x = - \frac{5}{7}$

Các tiệm cận ngang: $y = 0$

Các tiệm cận đứng: $x = - \frac{5}{7}$

Các tiệm cận ngang: $y = 0$

Bước 2

Tìm một điểm tại $x = 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Thay thế biến $x$ bằng $1$ trong biểu thức.

$f (1) = \frac{\ln (7 (1) + 5)}{e^{7 (1) + 5}}$

Bước 2.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Nhân $7$ với $1$ .

$f (1) = \frac{\ln (7 + 5)}{e^{7 (1) + 5}}$

Bước 2.2.1.2

Cộng $7$ và $5$ .

$f (1) = \frac{\ln (12)}{e^{7 (1) + 5}}$

Bước 2.2.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Nhân $7$ với $1$ .

$f (1) = \frac{\ln (12)}{e^{7 + 5}}$

Bước 2.2.2.2

Cộng $7$ và $5$ .

$f (1) = \frac{\ln (12)}{e^{12}}$

Bước 2.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $\frac{\ln (12)}{e^{12}}$ .

$\frac{\ln (12)}{e^{12}}$

Bước 2.3

Quy đổi $\frac{\ln (12)}{e^{12}}$ thành số thập phân.

$y = 1.52677941 \times 10^{- 5}$

Bước 3

Tìm một điểm tại $x = 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Thay thế biến $x$ bằng $2$ trong biểu thức.

$f (2) = \frac{\ln (7 (2) + 5)}{e^{7 (2) + 5}}$

Bước 3.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1

Nhân $7$ với $2$ .

$f (2) = \frac{\ln (14 + 5)}{e^{7 (2) + 5}}$

Bước 3.2.1.2

Cộng $14$ và $5$ .

$f (2) = \frac{\ln (19)}{e^{7 (2) + 5}}$

Bước 3.2.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Nhân $7$ với $2$ .

$f (2) = \frac{\ln (19)}{e^{14 + 5}}$

Bước 3.2.2.2

Cộng $14$ và $5$ .

$f (2) = \frac{\ln (19)}{e^{19}}$

Bước 3.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $\frac{\ln (19)}{e^{19}}$ .

$\frac{\ln (19)}{e^{19}}$

Bước 3.3

Quy đổi $\frac{\ln (19)}{e^{19}}$ thành số thập phân.

$y = 1.64970922 \times 10^{- 8}$

Bước 4

Tìm một điểm tại $x = 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Thay thế biến $x$ bằng $3$ trong biểu thức.

$f (3) = \frac{\ln (7 (3) + 5)}{e^{7 (3) + 5}}$

Bước 4.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1

Nhân $7$ với $3$ .

$f (3) = \frac{\ln (21 + 5)}{e^{7 (3) + 5}}$

Bước 4.2.1.2

Cộng $21$ và $5$ .

$f (3) = \frac{\ln (26)}{e^{7 (3) + 5}}$

Bước 4.2.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1

Nhân $7$ với $3$ .

$f (3) = \frac{\ln (26)}{e^{21 + 5}}$

Bước 4.2.2.2

Cộng $21$ và $5$ .

$f (3) = \frac{\ln (26)}{e^{26}}$

Bước 4.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $\frac{\ln (26)}{e^{26}}$ .

$\frac{\ln (26)}{e^{26}}$

Bước 4.3

Quy đổi $\frac{\ln (26)}{e^{26}}$ thành số thập phân.

$y = 1.66459052 \times 10^{- 11}$

Bước 5

Hàm logarit có thể được vẽ bằng tiệm cận đứng tại $x = - \frac{5}{7}$ và các điểm $(1, 1.52677941), (2, 1.64970922), (3, 1.66459052)$ .

Tiệm cận đứng: $x = - \frac{5}{7}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 1.527 \\ 2 & 1.65 \\ 3 & 1.665 \end{array}$

Bước 6