Giải tích Ví dụ

$\frac{1}{3} \cdot ({(4 + \frac{1}{x})}^{3} (\ln (x)))$

Bước 1

Tìm các tiệm cận.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm nơi biểu thức $\frac{\ln (x) {(4 x + 1)}^{3}}{3 x^{3}}$ không xác định.

$x \leq 0$

Bước 1.2

Vì $\frac{\ln (x) {(4 x + 1)}^{3}}{3 x^{3}}$ $\to$ $\infty$ khi $x$ $\to$ $0$ từ phía bên trái và $\frac{\ln (x) {(4 x + 1)}^{3}}{3 x^{3}}$ $\to$ $- \infty$ khi $x$ $\to$ $0$ từ phía bên phải, thì $x = 0$ là một tiệm cận đứng.

$x = 0$

Bước 1.3

Bỏ qua logarit, xét hàm số hữu tỉ $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ trong đó $n$ là bậc của tử số và $m$ là bậc của mẫu số.

1. Nếu $n < m$ , thì trục x, $y = 0$ , là tiệm cận ngang.

2. Nếu $n = m$ , thì tiệm cận ngang là đường $y = \frac{a}{b}$ .

3. Nếu $n > m$ , thì không có tiệm cận ngang (có một tiệm cận xiên).

Bước 1.4

Tìm $n$ và $m$ .

$n = 3$

$m = 3$

Bước 1.5

Vì $n = m$ , tiệm cận ngang là đường $y = \frac{a}{b}$ nơi $a = 64$ và $b = 3$ .

$y = \frac{64}{3}$

Bước 1.6

Không có tiệm cận xiên nào tồn tại cho các hàm logarit và hàm lượng giác.

Không có các tiệm cận xiên

Bước 1.7

Đây là tập hợp của tất cả các tiệm cận.

Các tiệm cận đứng: $x = 0$

Các tiệm cận ngang: $y = \frac{64}{3}$

Các tiệm cận đứng: $x = 0$

Các tiệm cận ngang: $y = \frac{64}{3}$

Bước 2

Tìm một điểm tại $x = 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Thay thế biến $x$ bằng $1$ trong biểu thức.

$f (1) = \frac{1}{3} \cdot ({(4 + \frac{1}{1})}^{3} (\ln (1)))$

Bước 2.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Chia $1$ cho $1$ .

$f (1) = \frac{1}{3} \cdot ({(4 + 1)}^{3} \ln (1))$

Bước 2.2.2

Cộng $4$ và $1$ .

$f (1) = \frac{1}{3} \cdot (5^{3} \ln (1))$

Bước 2.2.3

Nâng $5$ lên lũy thừa $3$ .

$f (1) = \frac{1}{3} \cdot (125 \ln (1))$

Bước 2.2.4

Logarit tự nhiên của $1$ là $0$ .

$f (1) = \frac{1}{3} \cdot (125 \cdot 0)$

Bước 2.2.5

Nhân $125$ với $0$ .

$f (1) = \frac{1}{3} \cdot 0$

Bước 2.2.6

Nhân $\frac{1}{3}$ với $0$ .

$f (1) = 0$

Bước 2.2.7

Câu trả lời cuối cùng là $0$ .

$0$

Bước 2.3

Quy đổi $0$ thành số thập phân.

$y = 0$

Bước 3

Tìm một điểm tại $x = 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Thay thế biến $x$ bằng $2$ trong biểu thức.

$f (2) = \frac{1}{3} \cdot ({(4 + \frac{1}{2})}^{3} (\ln (2)))$

Bước 3.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Để viết $4$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$f (2) = \frac{1}{3} \cdot ({(4 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2})}^{3} \ln (2))$

Bước 3.2.2

Kết hợp $4$ và $\frac{2}{2}$ .

$f (2) = \frac{1}{3} \cdot ({(\frac{4 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2})}^{3} \ln (2))$

Bước 3.2.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f (2) = \frac{1}{3} \cdot ({(\frac{4 \cdot 2 + 1}{2})}^{3} \ln (2))$

Bước 3.2.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.4.1

Nhân $4$ với $2$ .

$f (2) = \frac{1}{3} \cdot ({(\frac{8 + 1}{2})}^{3} \ln (2))$

Bước 3.2.4.2

Cộng $8$ và $1$ .

$f (2) = \frac{1}{3} \cdot ({(\frac{9}{2})}^{3} \ln (2))$

Bước 3.2.5

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{9}{2}$ .

$f (2) = \frac{1}{3} \cdot (\frac{9^{3}}{2^{3}} \cdot \ln (2))$

Bước 3.2.6

Nâng $9$ lên lũy thừa $3$ .

$f (2) = \frac{1}{3} \cdot (\frac{729}{2^{3}} \cdot \ln (2))$

Bước 3.2.7

Nâng $2$ lên lũy thừa $3$ .

$f (2) = \frac{1}{3} \cdot (\frac{729}{8} \cdot \ln (2))$

Bước 3.2.8

Rút gọn $\frac{729}{8} \ln (2)$ bằng cách di chuyển $\frac{729}{8}$ trong logarit.

$f (2) = \frac{1}{3} \cdot \ln (2^{\frac{729}{8}})$

Bước 3.2.9

Rút gọn $\frac{1}{3} \ln (2^{\frac{729}{8}})$ bằng cách di chuyển $\frac{1}{3}$ trong logarit.

$f (2) = \ln ({(2^{\frac{729}{8}})}^{\frac{1}{3}})$

Bước 3.2.10

Nhân các số mũ trong ${(2^{\frac{729}{8}})}^{\frac{1}{3}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.10.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (2) = \ln (2^{\frac{729}{8} \cdot \frac{1}{3}})$

Bước 3.2.10.2

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.10.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $729$ .

$f (2) = \ln (2^{\frac{3 (243)}{8} \cdot \frac{1}{3}})$

Bước 3.2.10.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (2) = \ln (2^{\frac{3 \cdot 243}{8} \cdot \frac{1}{3}})$

Bước 3.2.10.2.3

Viết lại biểu thức.

$f (2) = \ln (2^{\frac{243}{8}})$

Bước 3.2.11

Câu trả lời cuối cùng là $\ln (2^{\frac{243}{8}})$ .

$\ln (2^{\frac{243}{8}})$

Bước 3.3

Quy đổi $\ln (2^{\frac{243}{8}})$ thành số thập phân.

$y = 21.0543456$

Bước 4

Tìm một điểm tại $x = 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Thay thế biến $x$ bằng $3$ trong biểu thức.

$f (3) = \frac{1}{3} \cdot ({(4 + \frac{1}{3})}^{3} (\ln (3)))$

Bước 4.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Để viết $4$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$f (3) = \frac{1}{3} \cdot ({(4 \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3})}^{3} \ln (3))$

Bước 4.2.2

Kết hợp $4$ và $\frac{3}{3}$ .

$f (3) = \frac{1}{3} \cdot ({(\frac{4 \cdot 3}{3} + \frac{1}{3})}^{3} \ln (3))$

Bước 4.2.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f (3) = \frac{1}{3} \cdot ({(\frac{4 \cdot 3 + 1}{3})}^{3} \ln (3))$

Bước 4.2.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.4.1

Nhân $4$ với $3$ .

$f (3) = \frac{1}{3} \cdot ({(\frac{12 + 1}{3})}^{3} \ln (3))$

Bước 4.2.4.2

Cộng $12$ và $1$ .

$f (3) = \frac{1}{3} \cdot ({(\frac{13}{3})}^{3} \ln (3))$

Bước 4.2.5

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{13}{3}$ .

$f (3) = \frac{1}{3} \cdot (\frac{13^{3}}{3^{3}} \cdot \ln (3))$

Bước 4.2.6

Nâng $13$ lên lũy thừa $3$ .

$f (3) = \frac{1}{3} \cdot (\frac{2197}{3^{3}} \cdot \ln (3))$

Bước 4.2.7

Nâng $3$ lên lũy thừa $3$ .

$f (3) = \frac{1}{3} \cdot (\frac{2197}{27} \cdot \ln (3))$

Bước 4.2.8

Rút gọn $\frac{2197}{27} \ln (3)$ bằng cách di chuyển $\frac{2197}{27}$ trong logarit.

$f (3) = \frac{1}{3} \cdot \ln (3^{\frac{2197}{27}})$

Bước 4.2.9

Rút gọn $\frac{1}{3} \ln (3^{\frac{2197}{27}})$ bằng cách di chuyển $\frac{1}{3}$ trong logarit.

$f (3) = \ln ({(3^{\frac{2197}{27}})}^{\frac{1}{3}})$

Bước 4.2.10

Nhân các số mũ trong ${(3^{\frac{2197}{27}})}^{\frac{1}{3}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.10.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (3) = \ln (3^{\frac{2197}{27} \cdot \frac{1}{3}})$

Bước 4.2.10.2

Nhân $\frac{2197}{27} \cdot \frac{1}{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.10.2.1

Nhân $\frac{2197}{27}$ với $\frac{1}{3}$ .

$f (3) = \ln (3^{\frac{2197}{27 \cdot 3}})$

Bước 4.2.10.2.2

Nhân $27$ với $3$ .

$f (3) = \ln (3^{\frac{2197}{81}})$

Bước 4.2.11

Câu trả lời cuối cùng là $\ln (3^{\frac{2197}{81}})$ .

$\ln (3^{\frac{2197}{81}})$

Bước 4.3

Quy đổi $\ln (3^{\frac{2197}{81}})$ thành số thập phân.

$y = 29.79816294$

Bước 5

Hàm logarit có thể được vẽ bằng tiệm cận đứng tại $x = 0$ và các điểm $(1, 0), (2, 21.0543456), (3, 29.79816294)$ .

Tiệm cận đứng: $x = 0$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 0 \\ 2 & 21.054 \\ 3 & 29.798 \end{array}$

Bước 6