Giải tích Ví dụ

$f (x) = x^{\frac{9}{10}} - 6$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{\frac{9}{10}} - 6$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{\frac{9}{10}}] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{9}{10}}] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Bước 1.2

Tính $\frac{d}{d x} [x^{\frac{9}{10}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{9}{10}$ .

$\frac{9}{10} x^{\frac{9}{10} - 1} + \frac{d}{d x} [- 6]$

Bước 1.2.2

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{10}{10}$ .

$\frac{9}{10} x^{\frac{9}{10} - 1 \cdot \frac{10}{10}} + \frac{d}{d x} [- 6]$

Bước 1.2.3

Kết hợp $- 1$ và $\frac{10}{10}$ .

$\frac{9}{10} x^{\frac{9}{10} + \frac{- 1 \cdot 10}{10}} + \frac{d}{d x} [- 6]$

Bước 1.2.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{9}{10} x^{\frac{9 - 1 \cdot 10}{10}} + \frac{d}{d x} [- 6]$

Bước 1.2.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.5.1

Nhân $- 1$ với $10$ .

$\frac{9}{10} x^{\frac{9 - 10}{10}} + \frac{d}{d x} [- 6]$

Bước 1.2.5.2

Trừ $10$ khỏi $9$ .

$\frac{9}{10} x^{\frac{- 1}{10}} + \frac{d}{d x} [- 6]$

Bước 1.2.6

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{9}{10} x^{- \frac{1}{10}} + \frac{d}{d x} [- 6]$

Bước 1.3

Vì $- 6$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 6$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{9}{10} x^{- \frac{1}{10}} + 0$

Bước 1.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{9}{10} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{10}}} + 0$

Bước 1.4.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.2.1

Nhân $\frac{9}{10}$ với $\frac{1}{x^{\frac{1}{10}}}$ .

$\frac{9}{10 x^{\frac{1}{10}}} + 0$

Bước 1.4.2.2

Cộng $\frac{9}{10 x^{\frac{1}{10}}}$ và $0$ .

$f' (x) = \frac{9}{10 x^{\frac{1}{10}}}$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Vì $\frac{9}{10}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{9}{10 x^{\frac{1}{10}}}$ đối với $x$ là $\frac{9}{10} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{10}}}]$ .

$\frac{9}{10} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{10}}}]$

Bước 2.2

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Viết lại $\frac{1}{x^{\frac{1}{10}}}$ ở dạng ${(x^{\frac{1}{10}})}^{- 1}$ .

$\frac{9}{10} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{10}})}^{- 1}]$

Bước 2.2.2

Nhân các số mũ trong ${(x^{\frac{1}{10}})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{9}{10} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{10} \cdot - 1}]$

Bước 2.2.2.2

Kết hợp $\frac{1}{10}$ và $- 1$ .

$\frac{9}{10} \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 1}{10}}]$

Bước 2.2.2.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{9}{10} \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{10}}]$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = - \frac{1}{10}$ .

$\frac{9}{10} (- \frac{1}{10} x^{- \frac{1}{10} - 1})$

Bước 2.4

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{10}{10}$ .

$\frac{9}{10} (- \frac{1}{10} x^{- \frac{1}{10} - 1 \cdot \frac{10}{10}})$

Bước 2.5

Kết hợp $- 1$ và $\frac{10}{10}$ .

$\frac{9}{10} (- \frac{1}{10} x^{- \frac{1}{10} + \frac{- 1 \cdot 10}{10}})$

Bước 2.6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{9}{10} (- \frac{1}{10} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 10}{10}})$

Bước 2.7

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.1

Nhân $- 1$ với $10$ .

$\frac{9}{10} (- \frac{1}{10} x^{\frac{- 1 - 10}{10}})$

Bước 2.7.2

Trừ $10$ khỏi $- 1$ .

$\frac{9}{10} (- \frac{1}{10} x^{\frac{- 11}{10}})$

Bước 2.8

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{9}{10} (- \frac{1}{10} x^{- \frac{11}{10}})$

Bước 2.9

Kết hợp $x^{- \frac{11}{10}}$ và $\frac{1}{10}$ .

$\frac{9}{10} (- \frac{x^{- \frac{11}{10}}}{10})$

Bước 2.10

Nhân $\frac{9}{10}$ với $\frac{x^{- \frac{11}{10}}}{10}$ .

$- \frac{9 x^{- \frac{11}{10}}}{10 \cdot 10}$

Bước 2.11

Nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.11.1

Nhân $10$ với $10$ .

$- \frac{9 x^{- \frac{11}{10}}}{100}$

Bước 2.11.2

Di chuyển $x^{- \frac{11}{10}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{9}{100 x^{\frac{11}{10}}}$

Bước 3

Tìm đạo hàm bậc 3.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Vì $- \frac{9}{100}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \frac{9}{100 x^{\frac{11}{10}}}$ đối với $x$ là $- \frac{9}{100} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{11}{10}}}]$ .

$- \frac{9}{100} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{11}{10}}}]$

Bước 3.2

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Viết lại $\frac{1}{x^{\frac{11}{10}}}$ ở dạng ${(x^{\frac{11}{10}})}^{- 1}$ .

$- \frac{9}{100} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{11}{10}})}^{- 1}]$

Bước 3.2.2

Nhân các số mũ trong ${(x^{\frac{11}{10}})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{9}{100} \frac{d}{d x} [x^{\frac{11}{10} \cdot - 1}]$

Bước 3.2.2.2

Nhân $\frac{11}{10} \cdot - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.2.1

Kết hợp $\frac{11}{10}$ và $- 1$ .

$- \frac{9}{100} \frac{d}{d x} [x^{\frac{11 \cdot - 1}{10}}]$

Bước 3.2.2.2.2

Nhân $11$ với $- 1$ .

$- \frac{9}{100} \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 11}{10}}]$

Bước 3.2.2.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{9}{100} \frac{d}{d x} [x^{- \frac{11}{10}}]$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = - \frac{11}{10}$ .

$- \frac{9}{100} (- \frac{11}{10} x^{- \frac{11}{10} - 1})$

Bước 3.4

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{10}{10}$ .

$- \frac{9}{100} (- \frac{11}{10} x^{- \frac{11}{10} - 1 \cdot \frac{10}{10}})$

Bước 3.5

Kết hợp $- 1$ và $\frac{10}{10}$ .

$- \frac{9}{100} (- \frac{11}{10} x^{- \frac{11}{10} + \frac{- 1 \cdot 10}{10}})$

Bước 3.6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$- \frac{9}{100} (- \frac{11}{10} x^{\frac{- 11 - 1 \cdot 10}{10}})$

Bước 3.7

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.1

Nhân $- 1$ với $10$ .

$- \frac{9}{100} (- \frac{11}{10} x^{\frac{- 11 - 10}{10}})$

Bước 3.7.2

Trừ $10$ khỏi $- 11$ .

$- \frac{9}{100} (- \frac{11}{10} x^{\frac{- 21}{10}})$

Bước 3.8

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{9}{100} (- \frac{11}{10} x^{- \frac{21}{10}})$

Bước 3.9

Kết hợp $x^{- \frac{21}{10}}$ và $\frac{11}{10}$ .

$- \frac{9}{100} (- \frac{x^{- \frac{21}{10}} \cdot 11}{10})$

Bước 3.10

Nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.10.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$1 (\frac{9}{100}) \frac{x^{- \frac{21}{10}} \cdot 11}{10}$

Bước 3.10.2

Nhân $\frac{9}{100}$ với $1$ .

$\frac{9}{100} \cdot \frac{x^{- \frac{21}{10}} \cdot 11}{10}$

Bước 3.11

Nhân $\frac{9}{100}$ với $\frac{x^{- \frac{21}{10}} \cdot 11}{10}$ .

$\frac{9 (x^{- \frac{21}{10}} \cdot 11)}{100 \cdot 10}$

Bước 3.12

Nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.12.1

Nhân $11$ với $9$ .

$\frac{99 x^{- \frac{21}{10}}}{100 \cdot 10}$

Bước 3.12.2

Nhân $100$ với $10$ .

$\frac{99 x^{- \frac{21}{10}}}{1000}$

Bước 3.12.3

Di chuyển $x^{- \frac{21}{10}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f''' (x) = \frac{99}{1000 x^{\frac{21}{10}}}$

Bước 4

Tìm đạo hàm bậc 4.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Vì $\frac{99}{1000}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{99}{1000 x^{\frac{21}{10}}}$ đối với $x$ là $\frac{99}{1000} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{21}{10}}}]$ .

$\frac{99}{1000} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{21}{10}}}]$

Bước 4.2

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Viết lại $\frac{1}{x^{\frac{21}{10}}}$ ở dạng ${(x^{\frac{21}{10}})}^{- 1}$ .

$\frac{99}{1000} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{21}{10}})}^{- 1}]$

Bước 4.2.2

Nhân các số mũ trong ${(x^{\frac{21}{10}})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{99}{1000} \frac{d}{d x} [x^{\frac{21}{10} \cdot - 1}]$

Bước 4.2.2.2

Nhân $\frac{21}{10} \cdot - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.2.1

Kết hợp $\frac{21}{10}$ và $- 1$ .

$\frac{99}{1000} \frac{d}{d x} [x^{\frac{21 \cdot - 1}{10}}]$

Bước 4.2.2.2.2

Nhân $21$ với $- 1$ .

$\frac{99}{1000} \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 21}{10}}]$

Bước 4.2.2.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{99}{1000} \frac{d}{d x} [x^{- \frac{21}{10}}]$

Bước 4.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = - \frac{21}{10}$ .

$\frac{99}{1000} (- \frac{21}{10} x^{- \frac{21}{10} - 1})$

Bước 4.4

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{10}{10}$ .

$\frac{99}{1000} (- \frac{21}{10} x^{- \frac{21}{10} - 1 \cdot \frac{10}{10}})$

Bước 4.5

Kết hợp $- 1$ và $\frac{10}{10}$ .

$\frac{99}{1000} (- \frac{21}{10} x^{- \frac{21}{10} + \frac{- 1 \cdot 10}{10}})$

Bước 4.6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{99}{1000} (- \frac{21}{10} x^{\frac{- 21 - 1 \cdot 10}{10}})$

Bước 4.7

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.7.1

Nhân $- 1$ với $10$ .

$\frac{99}{1000} (- \frac{21}{10} x^{\frac{- 21 - 10}{10}})$

Bước 4.7.2

Trừ $10$ khỏi $- 21$ .

$\frac{99}{1000} (- \frac{21}{10} x^{\frac{- 31}{10}})$

Bước 4.8

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{99}{1000} (- \frac{21}{10} x^{- \frac{31}{10}})$

Bước 4.9

Kết hợp $x^{- \frac{31}{10}}$ và $\frac{21}{10}$ .

$\frac{99}{1000} (- \frac{x^{- \frac{31}{10}} \cdot 21}{10})$

Bước 4.10

Nhân $\frac{99}{1000}$ với $\frac{x^{- \frac{31}{10}} \cdot 21}{10}$ .

$- \frac{99 (x^{- \frac{31}{10}} \cdot 21)}{1000 \cdot 10}$

Bước 4.11

Nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.11.1

Nhân $21$ với $99$ .

$- \frac{2079 x^{- \frac{31}{10}}}{1000 \cdot 10}$

Bước 4.11.2

Nhân $1000$ với $10$ .

$- \frac{2079 x^{- \frac{31}{10}}}{10000}$

Bước 4.11.3

Di chuyển $x^{- \frac{31}{10}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f^{4} (x) = - \frac{2079}{10000 x^{\frac{31}{10}}}$

Bước 5

Căn bậc bốn của $f (x)$ đối với $x$ là $- \frac{2079}{10000 x^{\frac{31}{10}}}$ .

$- \frac{2079}{10000 x^{\frac{31}{10}}}$