Giải tích Ví dụ

$y = {(\frac{x - 5}{5 x + 1})}^{3}$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(\frac{x - 5}{5 x + 1})}^{3})$

Bước 2

Đạo hàm của $y$ đối với $x$ là $y'$ .

$y'$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{3}$ và $g (x) = \frac{x - 5}{5 x + 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $\frac{x - 5}{5 x + 1}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [\frac{x - 5}{5 x + 1}]$

Bước 3.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [\frac{x - 5}{5 x + 1}]$

Bước 3.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\frac{x - 5}{5 x + 1}$ .

$3 {(\frac{x - 5}{5 x + 1})}^{2} \frac{d}{d x} [\frac{x - 5}{5 x + 1}]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = x - 5$ và $g (x) = 5 x + 1$ .

$3 {(\frac{x - 5}{5 x + 1})}^{2} \frac{(5 x + 1) \frac{d}{d x} [x - 5] - (x - 5) \frac{d}{d x} [5 x + 1]}{{(5 x + 1)}^{2}}$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x - 5$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$3 {(\frac{x - 5}{5 x + 1})}^{2} \frac{(5 x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]) - (x - 5) \frac{d}{d x} [5 x + 1]}{{(5 x + 1)}^{2}}$

Bước 3.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$3 {(\frac{x - 5}{5 x + 1})}^{2} \frac{(5 x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 5]) - (x - 5) \frac{d}{d x} [5 x + 1]}{{(5 x + 1)}^{2}}$

Bước 3.3.3

Vì $- 5$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 5$ đối với $x$ là $0$ .

$3 {(\frac{x - 5}{5 x + 1})}^{2} \frac{(5 x + 1) (1 + 0) - (x - 5) \frac{d}{d x} [5 x + 1]}{{(5 x + 1)}^{2}}$

Bước 3.3.4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.4.1

Cộng $1$ và $0$ .

$3 {(\frac{x - 5}{5 x + 1})}^{2} \frac{(5 x + 1) \cdot 1 - (x - 5) \frac{d}{d x} [5 x + 1]}{{(5 x + 1)}^{2}}$

Bước 3.3.4.2

Nhân $5 x + 1$ với $1$ .

$3 {(\frac{x - 5}{5 x + 1})}^{2} \frac{5 x + 1 - (x - 5) \frac{d}{d x} [5 x + 1]}{{(5 x + 1)}^{2}}$

Bước 3.3.5

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $5 x + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$3 {(\frac{x - 5}{5 x + 1})}^{2} \frac{5 x + 1 - (x - 5) (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(5 x + 1)}^{2}}$

Bước 3.3.6

Vì $5$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $5 x$ đối với $x$ là $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 {(\frac{x - 5}{5 x + 1})}^{2} \frac{5 x + 1 - (x - 5) (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(5 x + 1)}^{2}}$

Bước 3.3.7

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$3 {(\frac{x - 5}{5 x + 1})}^{2} \frac{5 x + 1 - (x - 5) (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(5 x + 1)}^{2}}$

Bước 3.3.8

Nhân $5$ với $1$ .

$3 {(\frac{x - 5}{5 x + 1})}^{2} \frac{5 x + 1 - (x - 5) (5 + \frac{d}{d x} [1])}{{(5 x + 1)}^{2}}$

Bước 3.3.9

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$3 {(\frac{x - 5}{5 x + 1})}^{2} \frac{5 x + 1 - (x - 5) (5 + 0)}{{(5 x + 1)}^{2}}$

Bước 3.3.10

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.10.1

Cộng $5$ và $0$ .

$3 {(\frac{x - 5}{5 x + 1})}^{2} \frac{5 x + 1 - (x - 5) \cdot 5}{{(5 x + 1)}^{2}}$

Bước 3.3.10.2

Nhân $5$ với $- 1$ .

$3 {(\frac{x - 5}{5 x + 1})}^{2} \frac{5 x + 1 - 5 (x - 5)}{{(5 x + 1)}^{2}}$

Bước 3.3.10.3

Kết hợp $\frac{5 x + 1 - 5 (x - 5)}{{(5 x + 1)}^{2}}$ và $3$ .

$\frac{(5 x + 1 - 5 (x - 5)) \cdot 3}{{(5 x + 1)}^{2}} {(\frac{x - 5}{5 x + 1})}^{2}$

Bước 3.3.10.4

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $5 x + 1 - 5 (x - 5)$ .

$\frac{3 \cdot (5 x + 1 - 5 (x - 5))}{{(5 x + 1)}^{2}} {(\frac{x - 5}{5 x + 1})}^{2}$

Bước 3.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{x - 5}{5 x + 1}$ .

$\frac{3 (5 x + 1 - 5 (x - 5))}{{(5 x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x - 5)}^{2}}{{(5 x + 1)}^{2}}$

Bước 3.4.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{3 (5 x + 1 - 5 x - 5 \cdot - 5)}{{(5 x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x - 5)}^{2}}{{(5 x + 1)}^{2}}$

Bước 3.4.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{3 (5 x) + 3 \cdot 1 + 3 (- 5 x) + 3 (- 5 \cdot - 5)}{{(5 x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x - 5)}^{2}}{{(5 x + 1)}^{2}}$

Bước 3.4.4

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.4.1

Nhân $5$ với $3$ .

$\frac{15 x + 3 \cdot 1 + 3 (- 5 x) + 3 (- 5 \cdot - 5)}{{(5 x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x - 5)}^{2}}{{(5 x + 1)}^{2}}$

Bước 3.4.4.2

Nhân $3$ với $1$ .

$\frac{15 x + 3 + 3 (- 5 x) + 3 (- 5 \cdot - 5)}{{(5 x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x - 5)}^{2}}{{(5 x + 1)}^{2}}$

Bước 3.4.4.3

Nhân $- 5$ với $3$ .

$\frac{15 x + 3 - 15 x + 3 (- 5 \cdot - 5)}{{(5 x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x - 5)}^{2}}{{(5 x + 1)}^{2}}$

Bước 3.4.4.4

Nhân $- 5$ với $- 5$ .

$\frac{15 x + 3 - 15 x + 3 \cdot 25}{{(5 x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x - 5)}^{2}}{{(5 x + 1)}^{2}}$

Bước 3.4.4.5

Nhân $3$ với $25$ .

$\frac{15 x + 3 - 15 x + 75}{{(5 x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x - 5)}^{2}}{{(5 x + 1)}^{2}}$

Bước 3.4.4.6

Trừ $15 x$ khỏi $15 x$ .

$\frac{0 + 3 + 75}{{(5 x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x - 5)}^{2}}{{(5 x + 1)}^{2}}$

Bước 3.4.4.7

Cộng $0$ và $3$ .

$\frac{3 + 75}{{(5 x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x - 5)}^{2}}{{(5 x + 1)}^{2}}$

Bước 3.4.4.8

Cộng $3$ và $75$ .

$\frac{78}{{(5 x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x - 5)}^{2}}{{(5 x + 1)}^{2}}$

Bước 3.4.4.9

Nhân $\frac{78}{{(5 x + 1)}^{2}}$ với $\frac{{(x - 5)}^{2}}{{(5 x + 1)}^{2}}$ .

$\frac{78 {(x - 5)}^{2}}{{(5 x + 1)}^{2} {(5 x + 1)}^{2}}$

Bước 3.4.4.10

Nhân ${(5 x + 1)}^{2}$ với ${(5 x + 1)}^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.4.10.1

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{78 {(x - 5)}^{2}}{{(5 x + 1)}^{2 + 2}}$

Bước 3.4.4.10.2

Cộng $2$ và $2$ .

$\frac{78 {(x - 5)}^{2}}{{(5 x + 1)}^{4}}$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$y' = \frac{78 {(x - 5)}^{2}}{{(5 x + 1)}^{4}}$

Bước 5

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{78 {(x - 5)}^{2}}{{(5 x + 1)}^{4}}$