Giải tích Ví dụ

$y = \ln^{12} (x) + \ln (x^{12})$

Bước 1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$y = \ln^{12} (x) + \ln (x^{12})$

Bước 2

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\ln^{12} (x) + \ln (x^{12}))$

Bước 3

Đạo hàm của $y$ đối với $x$ là $y'$ .

$y'$

Bước 4

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\ln^{12} (x) + \ln (x^{12})$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\ln^{12} (x)] + \frac{d}{d x} [\ln (x^{12})]$ .

$\frac{d}{d x} [\ln^{12} (x)] + \frac{d}{d x} [\ln (x^{12})]$

Bước 4.2

Tính $\frac{d}{d x} [\ln^{12} (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{12}$ và $g (x) = \ln (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{12}] \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [\ln (x^{12})]$

Bước 4.2.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = 12$ .

$12 {u_{1}}^{11} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [\ln (x^{12})]$

Bước 4.2.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $\ln (x)$ .

$12 \ln^{11} (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [\ln (x^{12})]$

Bước 4.2.2

Đạo hàm của $\ln (x)$ đối với $x$ là $\frac{1}{x}$ .

$12 \ln^{11} (x) \frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [\ln (x^{12})]$

Bước 4.2.3

Kết hợp $\frac{1}{x}$ và $12$ .

$\frac{12}{x} \ln^{11} (x) + \frac{d}{d x} [\ln (x^{12})]$

Bước 4.2.4

Kết hợp $\frac{12}{x}$ và $\ln^{11} (x)$ .

$\frac{12 \ln^{11} (x)}{x} + \frac{d}{d x} [\ln (x^{12})]$

Bước 4.3

Tính $\frac{d}{d x} [\ln (x^{12})]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = x^{12}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $x^{12}$ .

$\frac{12 \ln^{11} (x)}{x} + \frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{12}]$

Bước 4.3.1.2

Đạo hàm của $\ln (u_{2})$ đối với $u_{2}$ là $\frac{1}{u_{2}}$ .

$\frac{12 \ln^{11} (x)}{x} + \frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [x^{12}]$

Bước 4.3.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $x^{12}$ .

$\frac{12 \ln^{11} (x)}{x} + \frac{1}{x^{12}} \frac{d}{d x} [x^{12}]$

Bước 4.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 12$ .

$\frac{12 \ln^{11} (x)}{x} + \frac{1}{x^{12}} (12 x^{11})$

Bước 4.3.3

Kết hợp $12$ và $\frac{1}{x^{12}}$ .

$\frac{12 \ln^{11} (x)}{x} + \frac{12}{x^{12}} x^{11}$

Bước 4.3.4

Kết hợp $\frac{12}{x^{12}}$ và $x^{11}$ .

$\frac{12 \ln^{11} (x)}{x} + \frac{12 x^{11}}{x^{12}}$

Bước 4.3.5

Triệt tiêu thừa số chung của $x^{11}$ và $x^{12}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.5.1

Đưa $x^{11}$ ra ngoài $12 x^{11}$ .

$\frac{12 \ln^{11} (x)}{x} + \frac{x^{11} \cdot 12}{x^{12}}$

Bước 4.3.5.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.5.2.1

Đưa $x^{11}$ ra ngoài $x^{12}$ .

$\frac{12 \ln^{11} (x)}{x} + \frac{x^{11} \cdot 12}{x^{11} x}$

Bước 4.3.5.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{12 \ln^{11} (x)}{x} + \frac{x^{11} \cdot 12}{x^{11} x}$

Bước 4.3.5.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{12 \ln^{11} (x)}{x} + \frac{12}{x}$

Bước 5

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$y' = \frac{12 \ln^{11} (x)}{x} + \frac{12}{x}$

Bước 6

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{12 \ln^{11} (x)}{x} + \frac{12}{x}$