Giải tích Ví dụ

$25^{x} - 2 \cdot 5^{x} = 3$

Bước 1

Trừ $3$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$25^{x} - 2 \cdot 5^{x} - 3 = 0$

Bước 2

Phân tích vế trái của phương trình thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Viết lại $25^{x}$ ở dạng ${(5^{2})}^{x}$ .

${(5^{2})}^{x} - 2 \cdot 5^{x} - 3 = 0$

Bước 2.2

Viết lại ${(5^{2})}^{x}$ ở dạng ${(5^{x})}^{2}$ .

${(5^{x})}^{2} - 2 \cdot 5^{x} - 3 = 0$

Bước 2.3

Giả sử $u = 5^{x}$ . Thay $u$ cho tất cả các lần xuất hiện của $5^{x}$ .

$u^{2} - 2 u - 3 = 0$

Bước 2.4

Phân tích $u^{2} - 2 u - 3$ thành thừa số bằng phương pháp AC.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Xét dạng $x^{2} + b x + c$ . Tìm một cặp số nguyên mà tích số của chúng là $c$ và tổng của chúng là $b$ . Trong trường hợp này, tích số của chúng là $- 3$ và tổng của chúng là $- 2$ .

$- 3, 1$

Bước 2.4.2

Viết dạng đã được phân tích thành thừa số bằng các số nguyên này.

$(u - 3) (u + 1) = 0$

Bước 2.5

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $5^{x}$ .

$(5^{x} - 3) (5^{x} + 1) = 0$

Bước 3

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$5^{x} - 3 = 0$

$5^{x} + 1 = 0$

Bước 4

Đặt $5^{x} - 3$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Đặt $5^{x} - 3$ bằng với $0$ .

$5^{x} - 3 = 0$

Bước 4.2

Giải $5^{x} - 3 = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Cộng $3$ cho cả hai vế của phương trình.

$5^{x} = 3$

Bước 4.2.2

Lấy logarit tự nhiên của cả hai vế của phương trình để loại bỏ biến khỏi số mũ.

$\ln (5^{x}) = \ln (3)$

Bước 4.2.3

Khai triển $\ln (5^{x})$ bằng cách di chuyển $x$ ra bên ngoài lôgarit.

$x \ln (5) = \ln (3)$

Bước 4.2.4

Chia mỗi số hạng trong $x \ln (5) = \ln (3)$ cho $\ln (5)$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.4.1

Chia mỗi số hạng trong $x \ln (5) = \ln (3)$ cho $\ln (5)$ .

$\frac{x \ln (5)}{\ln (5)} = \frac{\ln (3)}{\ln (5)}$

Bước 4.2.4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $\ln (5)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.4.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x \ln (5)}{\ln (5)} = \frac{\ln (3)}{\ln (5)}$

Bước 4.2.4.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{\ln (3)}{\ln (5)}$

Bước 5

Đặt $5^{x} + 1$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Đặt $5^{x} + 1$ bằng với $0$ .

$5^{x} + 1 = 0$

Bước 5.2

Giải $5^{x} + 1 = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$5^{x} = - 1$

Bước 5.2.2

Lấy logarit tự nhiên của cả hai vế của phương trình để loại bỏ biến khỏi số mũ.

$\ln (5^{x}) = \ln (- 1)$

Bước 5.2.3

Không thể giải phương trình vì $\ln (- 1)$ không xác định.

Không xác định

Bước 5.2.4

Không có đáp án nào cho $5^{x} = - 1$

Không có đáp án

Bước 6

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $(5^{x} - 3) (5^{x} + 1) = 0$ đúng.

$x = \frac{\ln (3)}{\ln (5)}$

Bước 7

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$x = \frac{\ln (3)}{\ln (5)}$

Dạng thập phân:

$x = 0.68260619 \dots$