Giải tích Ví dụ

$\int (x + 1) e^{7 x^{2} + 14 x} d x$

Bước 1

Giả sử $u = 7 x^{2} + 14 x$ . Sau đó $d u = (14 x + 14) d x$ , nên $\frac{1}{14} d u = (x + 1) d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = 7 x^{2} + 14 x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $7 x^{2} + 14 x$ .

$\frac{d}{d x} [7 x^{2} + 14 x]$

Bước 1.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $7 x^{2} + 14 x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [14 x]$ .

$\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [14 x]$

Bước 1.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [7 x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Vì $7$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $7 x^{2}$ đối với $x$ là $7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [14 x]$

Bước 1.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$7 (2 x) + \frac{d}{d x} [14 x]$

Bước 1.1.3.3

Nhân $2$ với $7$ .

$14 x + \frac{d}{d x} [14 x]$

Bước 1.1.4

Tính $\frac{d}{d x} [14 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.1

Vì $14$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $14 x$ đối với $x$ là $14 \frac{d}{d x} [x]$ .

$14 x + 14 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.1.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$14 x + 14 \cdot 1$

Bước 1.1.4.3

Nhân $14$ với $1$ .

$14 x + 14$

Bước 1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int e^{u} \frac{1}{14} d u$

Bước 2

Kết hợp $e^{u}$ và $\frac{1}{14}$ .

$\int \frac{e^{u}}{14} d u$

Bước 3

Vì $\frac{1}{14}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{14}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{14} \int e^{u} d u$

Bước 4

Tích phân của $e^{u}$ đối với $u$ là $e^{u}$ .

$\frac{1}{14} (e^{u} + C)$

Bước 5

Rút gọn.

$\frac{1}{14} e^{u} + C$

Bước 6

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $7 x^{2} + 14 x$ .

$\frac{1}{14} e^{7 x^{2} + 14 x} + C$