Giải tích Ví dụ

$0 = \frac{π}{2} + π \cos (\frac{π x}{2})$

Bước 1

Viết lại phương trình ở dạng $\frac{π}{2} + π \cos (\frac{π x}{2}) = 0$ .

$\frac{π}{2} + π \cos (\frac{π x}{2}) = 0$

Bước 2

Trừ $\frac{π}{2}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$π \cos (\frac{π x}{2}) = - \frac{π}{2}$

Bước 3

Chia mỗi số hạng trong $π \cos (\frac{π x}{2}) = - \frac{π}{2}$ cho $π$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Chia mỗi số hạng trong $π \cos (\frac{π x}{2}) = - \frac{π}{2}$ cho $π$ .

$\frac{π \cos (\frac{π x}{2})}{π} = \frac{- \frac{π}{2}}{π}$

Bước 3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $π$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{π \cos (\frac{π x}{2})}{π} = \frac{- \frac{π}{2}}{π}$

Bước 3.2.1.2

Chia $\cos (\frac{π x}{2})$ cho $1$ .

$\cos (\frac{π x}{2}) = \frac{- \frac{π}{2}}{π}$

Bước 3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$\cos (\frac{π x}{2}) = - \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{π}$

Bước 3.3.2

Triệt tiêu thừa số chung $π$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{π}{2}$ vào tử số.

$\cos (\frac{π x}{2}) = \frac{- π}{2} \cdot \frac{1}{π}$

Bước 3.3.2.2

Đưa $π$ ra ngoài $- π$ .

$\cos (\frac{π x}{2}) = \frac{π \cdot - 1}{2} \cdot \frac{1}{π}$

Bước 3.3.2.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$\cos (\frac{π x}{2}) = \frac{π \cdot - 1}{2} \cdot \frac{1}{π}$

Bước 3.3.2.4

Viết lại biểu thức.

$\cos (\frac{π x}{2}) = \frac{- 1}{2}$

Bước 3.3.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\cos (\frac{π x}{2}) = - \frac{1}{2}$

Bước 4

Lấy cosin nghịch đảo của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong cosin.

$\frac{π x}{2} = \arccos (- \frac{1}{2})$

Bước 5

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Giá trị chính xác của $\arccos (- \frac{1}{2})$ là $\frac{2 π}{3}$ .

$\frac{π x}{2} = \frac{2 π}{3}$

Bước 6

Nhân cả hai vế của phương trình với $\frac{2}{π}$ .

$\frac{2}{π} \cdot \frac{π x}{2} = \frac{2}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$

Bước 7

Rút gọn cả hai vế của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1

Rút gọn $\frac{2}{π} \cdot \frac{π x}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2}{π} \cdot \frac{π x}{2} = \frac{2}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$

Bước 7.1.1.1.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{2}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$

Bước 7.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $π$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1.2.1

Đưa $π$ ra ngoài $π x$ .

$\frac{1}{π} (π (x)) = \frac{2}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$

Bước 7.1.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{2}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$

Bước 7.1.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$x = \frac{2}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$

Bước 7.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Rút gọn $\frac{2}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $π$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1.1.1

Đưa $π$ ra ngoài $2 π$ .

$x = \frac{2}{π} \cdot \frac{π \cdot 2}{3}$

Bước 7.2.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$x = \frac{2}{π} \cdot \frac{π \cdot 2}{3}$

Bước 7.2.1.1.3

Viết lại biểu thức.

$x = 2 (\frac{2}{3})$

Bước 7.2.1.2

Kết hợp $2$ và $\frac{2}{3}$ .

$x = \frac{2 \cdot 2}{3}$

Bước 7.2.1.3

Nhân $2$ với $2$ .

$x = \frac{4}{3}$

Bước 8

Hàm cosin âm trong góc phần tư thứ hai và thứ ba. Để tìm đáp án thứ hai, hãy trừ góc tham chiếu từ $2 π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ ba.

$\frac{π x}{2} = 2 π - \frac{2 π}{3}$

Bước 9

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Nhân cả hai vế của phương trình với $\frac{2}{π}$ .

$\frac{2}{π} \cdot \frac{π x}{2} = \frac{2}{π} (2 π - \frac{2 π}{3})$

Bước 9.2

Rút gọn cả hai vế của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1.1

Rút gọn $\frac{2}{π} \cdot \frac{π x}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2}{π} \cdot \frac{π x}{2} = \frac{2}{π} (2 π - \frac{2 π}{3})$

Bước 9.2.1.1.1.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{2}{π} (2 π - \frac{2 π}{3})$

Bước 9.2.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $π$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1.1.2.1

Đưa $π$ ra ngoài $π x$ .

$\frac{1}{π} (π (x)) = \frac{2}{π} (2 π - \frac{2 π}{3})$

Bước 9.2.1.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{2}{π} (2 π - \frac{2 π}{3})$

Bước 9.2.1.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$x = \frac{2}{π} (2 π - \frac{2 π}{3})$

Bước 9.2.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.2.1

Rút gọn $\frac{2}{π} (2 π - \frac{2 π}{3})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.2.1.1

Để viết $2 π$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2}{π} (2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3})$

Bước 9.2.2.1.2

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.2.1.2.1

Kết hợp $2 π$ và $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2}{π} (\frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3})$

Bước 9.2.2.1.2.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$x = \frac{2}{π} \cdot \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

Bước 9.2.2.1.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.2.1.3.1

Nhân $3$ với $2$ .

$x = \frac{2}{π} \cdot \frac{6 π - 2 π}{3}$

Bước 9.2.2.1.3.2

Trừ $2 π$ khỏi $6 π$ .

$x = \frac{2}{π} \cdot \frac{4 π}{3}$

Bước 9.2.2.1.4

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.2.1.4.1

Triệt tiêu thừa số chung $π$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.2.1.4.1.1

Đưa $π$ ra ngoài $4 π$ .

$x = \frac{2}{π} \cdot \frac{π \cdot 4}{3}$

Bước 9.2.2.1.4.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$x = \frac{2}{π} \cdot \frac{π \cdot 4}{3}$

Bước 9.2.2.1.4.1.3

Viết lại biểu thức.

$x = 2 (\frac{4}{3})$

Bước 9.2.2.1.4.2

Kết hợp $2$ và $\frac{4}{3}$ .

$x = \frac{2 \cdot 4}{3}$

Bước 9.2.2.1.4.3

Nhân $2$ với $4$ .

$x = \frac{8}{3}$

Bước 10

Tìm chu kỳ của $\cos (\frac{π x}{2})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Bước 10.2

Thay thế $b$ với $\frac{π}{2}$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{2 π}{| \frac{π}{2} |}$

Bước 10.3

$\frac{π}{2}$ xấp xỉ $1.57079632$ , là một số dương, nên ta loại bỏ dấu giá trị tuyệt đối

$\frac{2 π}{\frac{π}{2}}$

Bước 10.4

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$2 π \frac{2}{π}$

Bước 10.5

Triệt tiêu thừa số chung $π$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.5.1

Đưa $π$ ra ngoài $2 π$ .

$π \cdot 2 \frac{2}{π}$

Bước 10.5.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$π \cdot 2 \frac{2}{π}$

Bước 10.5.3

Viết lại biểu thức.

$2 \cdot 2$

Bước 10.6

Nhân $2$ với $2$ .

$4$

Bước 11

Chu kỳ của hàm $\cos (\frac{π x}{2})$ là $4$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $4$ radian theo cả hai hướng.

$x = \frac{4}{3} + 4 n, \frac{8}{3} + 4 n$ , cho mọi số nguyên $n$