Giải tích Ví dụ

$f (x) = \sqrt{4 - x}$ , $a = 0$

Bước 1

Xét hàm số đã sử dụng để tìm sự tuyến tính hóa tại $a$ .

$L (x) = f (a) + f' (a) (x - a)$

Bước 2

Thay giá trị của $a = 0$ vào hàm số tuyến tính hóa.

$L (x) = f (0) + f' (0) (x - 0)$

Bước 3

Tính $f (0)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Thay thế biến $x$ bằng $0$ trong biểu thức.

$f (0) = \sqrt{4 - (0)}$

Bước 3.2

Rút gọn $\sqrt{4 - (0)}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$\sqrt{4 - (0)}$

Bước 3.2.2

Nhân $- 1$ với $0$ .

$\sqrt{4 + 0}$

Bước 3.2.3

Cộng $4$ và $0$ .

$\sqrt{4}$

Bước 3.2.4

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$\sqrt{2^{2}}$

Bước 3.2.5

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$2$

Bước 4

Tìm đạo hàm và tính giá trị của nó tại $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tìm đạo hàm của $f (x) = \sqrt{4 - x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{4 - x}$ ở dạng ${(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(4 - x)}^{\frac{1}{2}}]$

Bước 4.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ và $g (x) = 4 - x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $4 - x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [4 - x]$

Bước 4.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 - x]$

Bước 4.1.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $4 - x$ .

$\frac{1}{2} {(4 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 - x]$

Bước 4.1.3

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(4 - x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x]$

Bước 4.1.4

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(4 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x]$

Bước 4.1.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{2} {(4 - x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x]$

Bước 4.1.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.6.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{1}{2} {(4 - x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x]$

Bước 4.1.6.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$\frac{1}{2} {(4 - x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x]$

Bước 4.1.7

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.7.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{2} {(4 - x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x]$

Bước 4.1.7.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và ${(4 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(4 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [4 - x]$

Bước 4.1.7.3

Di chuyển ${(4 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [4 - x]$

Bước 4.1.8

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $4 - x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x])$

Bước 4.1.9

Vì $4$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $4$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x])$

Bước 4.1.10

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- x]$

Bước 4.1.11

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x])$

Bước 4.1.12

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} (- 1 \cdot 1)$

Bước 4.1.13

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.13.1

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 1$

Bước 4.1.13.2

Kết hợp $\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ và $- 1$ .

$\frac{- 1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 4.1.13.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 4.2

Thay thế biến $x$ bằng $0$ trong biểu thức.

$- \frac{1}{2 {(4 - (0))}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 4.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1.1

Trừ $0$ khỏi $4$ .

$- \frac{1}{2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}}$

Bước 4.3.1.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$- \frac{1}{2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 4.3.1.3

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})}}$

Bước 4.3.1.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$- \frac{1}{2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})}}$

Bước 4.3.1.4.2

Viết lại biểu thức.

$- \frac{1}{2 \cdot 2^{1}}$

Bước 4.3.1.5

Tính số mũ.

$- \frac{1}{2 \cdot 2}$

Bước 4.3.2

Nhân $2$ với $2$ .

$- \frac{1}{4}$

Bước 5

Thay các thành phần vào hàm tuyến tính hóa để tìm sự tuyến tính hóa tại $a$ .

$L (x) = 2 - \frac{1}{4} (x - 0)$

Bước 6

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Trừ $0$ khỏi $x$ .

$L (x) = 2 - \frac{1}{4} x$

Bước 6.2

Kết hợp $x$ và $\frac{1}{4}$ .

$L (x) = 2 - \frac{x}{4}$

Bước 7