Giải tích Ví dụ

$2 \sin (x) \cos (x) - \sin (2 x) \cos (2 x) = 0$

Bước 1

Sử dụng đẳng thức góc nhân đôi để chuyển $\cos (2 x)$ thành $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$2 \sin (x) \cos (x) - \sin (2 x) (1 - 2 \sin^{2} (x)) = 0$

Bước 2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Rút gọn $2 \sin (x) \cos (x) - \sin (2 x) (1 - 2 \sin^{2} (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.1

Áp dụng đẳng thức góc nhân đôi cho sin.

$2 \sin (x) \cos (x) - (2 \sin (x) \cos (x)) (1 - 2 \sin^{2} (x)) = 0$

Bước 2.1.1.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$2 \sin (x) \cos (x) - 2 (\sin (x) \cos (x)) (1 - 2 \sin^{2} (x)) = 0$

Bước 2.1.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$2 \sin (x) \cos (x) - 2 \sin (x) \cos (x) \cdot 1 - 2 \sin (x) \cos (x) (- 2 \sin^{2} (x)) = 0$

Bước 2.1.1.4

Nhân $- 2$ với $1$ .

$2 \sin (x) \cos (x) - 2 \sin (x) \cos (x) - 2 \sin (x) \cos (x) (- 2 \sin^{2} (x)) = 0$

Bước 2.1.1.5

Nhân $\sin (x)$ với $\sin^{2} (x)$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.5.1

Di chuyển $\sin^{2} (x)$ .

$2 \sin (x) \cos (x) - 2 \sin (x) \cos (x) - 2 (\sin^{2} (x) \sin (x)) \cos (x) \cdot - 2 = 0$

Bước 2.1.1.5.2

Nhân $\sin^{2} (x)$ với $\sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.5.2.1

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$2 \sin (x) \cos (x) - 2 \sin (x) \cos (x) - 2 (\sin^{2} (x) \sin^{1} (x)) \cos (x) \cdot - 2 = 0$

Bước 2.1.1.5.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$2 \sin (x) \cos (x) - 2 \sin (x) \cos (x) - 2 {\sin (x)}^{2 + 1} \cos (x) \cdot - 2 = 0$

Bước 2.1.1.5.3

Cộng $2$ và $1$ .

$2 \sin (x) \cos (x) - 2 \sin (x) \cos (x) - 2 \sin^{3} (x) \cos (x) \cdot - 2 = 0$

Bước 2.1.1.6

Nhân $- 2$ với $- 2$ .

$2 \sin (x) \cos (x) - 2 \sin (x) \cos (x) + 4 \sin^{3} (x) \cos (x) = 0$

Bước 2.1.2

Rút gọn bằng cách cộng các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1

Trừ $2 \sin (x) \cos (x)$ khỏi $2 \sin (x) \cos (x)$ .

$0 + 4 \sin^{3} (x) \cos (x) = 0$

Bước 2.1.2.2

Cộng $0$ và $4 \sin^{3} (x) \cos (x)$ .

$4 \sin^{3} (x) \cos (x) = 0$

Bước 3

Giải phương trình để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$\sin^{3} (x) = 0$

$\cos (x) = 0$

Bước 3.2

Đặt $\sin^{3} (x)$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Đặt $\sin^{3} (x)$ bằng với $0$ .

$\sin^{3} (x) = 0$

Bước 3.2.2

Giải $\sin^{3} (x) = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sin (x) = \sqrt[3]{0}$

Bước 3.2.2.2

Rút gọn $\sqrt[3]{0}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.2.1

Viết lại $0$ ở dạng $0^{3}$ .

$\sin (x) = \sqrt[3]{0^{3}}$

Bước 3.2.2.2.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực.

$\sin (x) = 0$

Bước 3.2.2.3

Lấy nghịch đảo sin của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong hàm sin.

$x = \arcsin (0)$

Bước 3.2.2.4

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.4.1

Giá trị chính xác của $\arcsin (0)$ là $0$ .

$x = 0$

Bước 3.2.2.5

Hàm sin dương trong góc phần tư thứ nhất và thứ hai. Để tìm đáp án thứ hai, trừ góc tham chiếu khỏi $π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ hai.

$x = π - 0$

Bước 3.2.2.6

Trừ $0$ khỏi $π$ .

$x = π$

Bước 3.2.2.7

Tìm chu kỳ của $\sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.7.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Bước 3.2.2.7.2

Thay thế $b$ với $1$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Bước 3.2.2.7.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Bước 3.2.2.7.4

Chia $2 π$ cho $1$ .

$2 π$

Bước 3.2.2.8

Chu kỳ của hàm $\sin (x)$ là $2 π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $2 π$ radian theo cả hai hướng.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 3.3

Đặt $\cos (x)$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Đặt $\cos (x)$ bằng với $0$ .

$\cos (x) = 0$

Bước 3.3.2

Giải $\cos (x) = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1

Lấy cosin nghịch đảo của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong cosin.

$x = \arccos (0)$

Bước 3.3.2.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.2.1

Giá trị chính xác của $\arccos (0)$ là $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Bước 3.3.2.3

Hàm cosin dương ở góc phần tư thứ nhất và thứ tư. Để tìm đáp án thứ hai, hãy trừ góc tham chiếu khỏi $2 π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ tư.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Bước 3.3.2.4

Rút gọn $2 π - \frac{π}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.4.1

Để viết $2 π$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Bước 3.3.2.4.2

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.4.2.1

Kết hợp $2 π$ và $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Bước 3.3.2.4.2.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Bước 3.3.2.4.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.4.3.1

Nhân $2$ với $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Bước 3.3.2.4.3.2

Trừ $π$ khỏi $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Bước 3.3.2.5

Tìm chu kỳ của $\cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.5.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Bước 3.3.2.5.2

Thay thế $b$ với $1$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Bước 3.3.2.5.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Bước 3.3.2.5.4

Chia $2 π$ cho $1$ .

$2 π$

Bước 3.3.2.6

Chu kỳ của hàm $\cos (x)$ là $2 π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $2 π$ radian theo cả hai hướng.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 3.4

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $4 \sin^{3} (x) \cos (x) = 0$ đúng.

$x = 2 π n, π + 2 π n, \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 4

Hợp nhất các câu trả lời.

$x = \frac{π n}{2}$ , cho mọi số nguyên $n$