Giải tích Ví dụ

$12288 \sqrt{x} = 192 x^{2}$

Bước 1

Để loại bỏ dấu căn ở vế trái của phương trình, ta bình phương cả hai vế của phương trình.

${(12288 \sqrt{x})}^{2} = {(192 x^{2})}^{2}$

Bước 2

Rút gọn mỗi vế của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(12288 x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(192 x^{2})}^{2}$

Bước 2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Rút gọn ${(12288 x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $12288 x^{\frac{1}{2}}$ .

$12288^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(192 x^{2})}^{2}$

Bước 2.2.1.2

Nâng $12288$ lên lũy thừa $2$ .

$150994944 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(192 x^{2})}^{2}$

Bước 2.2.1.3

Nhân các số mũ trong ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$150994944 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(192 x^{2})}^{2}$

Bước 2.2.1.3.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$150994944 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(192 x^{2})}^{2}$

Bước 2.2.1.3.2.2

Viết lại biểu thức.

$150994944 x^{1} = {(192 x^{2})}^{2}$

Bước 2.2.1.4

Rút gọn.

$150994944 x = {(192 x^{2})}^{2}$

Bước 2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Rút gọn ${(192 x^{2})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $192 x^{2}$ .

$150994944 x = 192^{2} {(x^{2})}^{2}$

Bước 2.3.1.2

Nâng $192$ lên lũy thừa $2$ .

$150994944 x = 36864 {(x^{2})}^{2}$

Bước 2.3.1.3

Nhân các số mũ trong ${(x^{2})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$150994944 x = 36864 x^{2 \cdot 2}$

Bước 2.3.1.3.2

Nhân $2$ với $2$ .

$150994944 x = 36864 x^{4}$

Bước 3

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Trừ $36864 x^{4}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$150994944 x - 36864 x^{4} = 0$

Bước 3.2

Phân tích vế trái của phương trình thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Đưa $36864 x$ ra ngoài $150994944 x - 36864 x^{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1

Đưa $36864 x$ ra ngoài $150994944 x$ .

$36864 x (4096) - 36864 x^{4} = 0$

Bước 3.2.1.2

Đưa $36864 x$ ra ngoài $- 36864 x^{4}$ .

$36864 x (4096) + 36864 x (- x^{3}) = 0$

Bước 3.2.1.3

Đưa $36864 x$ ra ngoài $36864 x (4096) + 36864 x (- x^{3})$ .

$36864 x (4096 - x^{3}) = 0$

Bước 3.2.2

Viết lại $4096$ ở dạng $16^{3}$ .

$36864 x (16^{3} - x^{3}) = 0$

Bước 3.2.3

Vì cả hai số hạng đều là các số lập phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai lập phương, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ trong đó $a = 16$ và $b = x$ .

$36864 x ((16 - x) (16^{2} + 16 x + x^{2})) = 0$

Bước 3.2.4

Phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.4.1

Nâng $16$ lên lũy thừa $2$ .

$36864 x ((16 - x) (256 + 16 x + x^{2})) = 0$

Bước 3.2.4.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn không cần thiết.

$36864 x (16 - x) (256 + 16 x + x^{2}) = 0$

Bước 3.3

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$x = 0$

$16 - x = 0$

$256 + 16 x + x^{2} = 0$

Bước 3.4

Đặt $x$ bằng với $0$ .

$x = 0$

Bước 3.5

Đặt $16 - x$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Đặt $16 - x$ bằng với $0$ .

$16 - x = 0$

Bước 3.5.2

Giải $16 - x = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.1

Trừ $16$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- x = - 16$

Bước 3.5.2.2

Chia mỗi số hạng trong $- x = - 16$ cho $- 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.2.1

Chia mỗi số hạng trong $- x = - 16$ cho $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 16}{- 1}$

Bước 3.5.2.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.2.2.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{x}{1} = \frac{- 16}{- 1}$

Bước 3.5.2.2.2.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{- 16}{- 1}$

Bước 3.5.2.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.2.3.1

Chia $- 16$ cho $- 1$ .

$x = 16$

Bước 3.6

Đặt $256 + 16 x + x^{2}$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1

Đặt $256 + 16 x + x^{2}$ bằng với $0$ .

$256 + 16 x + x^{2} = 0$

Bước 3.6.2

Giải $256 + 16 x + x^{2} = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.2.1

Sử dụng công thức bậc hai để tìm các đáp án.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Bước 3.6.2.2

Thay các giá trị $a = 1$ , $b = 16$ , và $c = 256$ vào công thức bậc hai và giải tìm $x$ .

$\frac{- 16 \pm \sqrt{16^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 256)}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.6.2.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.2.3.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.2.3.1.1

Nâng $16$ lên lũy thừa $2$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 1 \cdot 256}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.6.2.3.1.2

Nhân $- 4 \cdot 1 \cdot 256$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.2.3.1.2.1

Nhân $- 4$ với $1$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 256}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.6.2.3.1.2.2

Nhân $- 4$ với $256$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{256 - 1024}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.6.2.3.1.3

Trừ $1024$ khỏi $256$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{- 768}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.6.2.3.1.4

Viết lại $- 768$ ở dạng $- 1 (768)$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{- 1 \cdot 768}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.6.2.3.1.5

Viết lại $\sqrt{- 1 (768)}$ ở dạng $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{768}$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{768}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.6.2.3.1.6

Viết lại $\sqrt{- 1}$ ở dạng $i$ .

$x = \frac{- 16 \pm i \cdot \sqrt{768}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.6.2.3.1.7

Viết lại $768$ ở dạng $16^{2} \cdot 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.2.3.1.7.1

Đưa $256$ ra ngoài $768$ .

$x = \frac{- 16 \pm i \cdot \sqrt{256 (3)}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.6.2.3.1.7.2

Viết lại $256$ ở dạng $16^{2}$ .

$x = \frac{- 16 \pm i \cdot \sqrt{16^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.6.2.3.1.8

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$x = \frac{- 16 \pm i \cdot (16 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Bước 3.6.2.3.1.9

Di chuyển $16$ sang phía bên trái của $i$ .

$x = \frac{- 16 \pm 16 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.6.2.3.2

Nhân $2$ với $1$ .

$x = \frac{- 16 \pm 16 i \sqrt{3}}{2}$

Bước 3.6.2.3.3

Rút gọn $\frac{- 16 \pm 16 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 8 \pm 8 i \sqrt{3}$

Bước 3.6.2.4

Câu trả lời cuối cùng là sự kết hợp của cả hai đáp án.

$x = - 8 + 8 i \sqrt{3}, - 8 - 8 i \sqrt{3}$

Bước 3.7

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $36864 x (16 - x) (256 + 16 x + x^{2}) = 0$ đúng.

$x = 0, 16, - 8 + 8 i \sqrt{3}, - 8 - 8 i \sqrt{3}$