Giải tích Ví dụ

$2 \ln (2 x) + \ln (16 x) = 0$

Bước 1

Chuyển tất cả các số hạng có chứa logarit sang vế trái của phương trình.

$2 \ln (2 x) + \ln (16 x) = 0$

Bước 2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Rút gọn $2 \ln (2 x) + \ln (16 x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.1

Rút gọn $2 \ln (2 x)$ bằng cách di chuyển $2$ trong logarit.

$\ln ({(2 x)}^{2}) + \ln (16 x) = 0$

Bước 2.1.1.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $2 x$ .

$\ln (2^{2} x^{2}) + \ln (16 x) = 0$

Bước 2.1.1.3

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$\ln (4 x^{2}) + \ln (16 x) = 0$

Bước 2.1.2

Sử dụng tính chất tích số của logarit, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (4 x^{2} (16 x)) = 0$

Bước 2.1.3

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\ln (4 \cdot 16 x^{2} x) = 0$

Bước 2.1.4

Nhân $x^{2}$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.4.1

Di chuyển $x$ .

$\ln (4 \cdot 16 (x \cdot x^{2})) = 0$

Bước 2.1.4.2

Nhân $x$ với $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.4.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\ln (4 \cdot 16 (x^{1} x^{2})) = 0$

Bước 2.1.4.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\ln (4 \cdot 16 x^{1 + 2}) = 0$

Bước 2.1.4.3

Cộng $1$ và $2$ .

$\ln (4 \cdot 16 x^{3}) = 0$

Bước 2.1.5

Nhân $4$ với $16$ .

$\ln (64 x^{3}) = 0$

Bước 3

Để giải tìm $x$ , hãy viết lại phương trình bằng các tính chất của logarit.

$e^{\ln (64 x^{3})} = e^{0}$

Bước 4

Viết lại $\ln (64 x^{3}) = 0$ dưới dạng mũ bằng cách dùng định nghĩa của logarit. Nếu $x$ và $b$ là các số thực dương và $b \neq 1$ , thì $\log_{b} (x) = y$ sẽ tương đương với $b^{y} = x$ .

$e^{0} = 64 x^{3}$

Bước 5

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Viết lại phương trình ở dạng $64 x^{3} = e^{0}$ .

$64 x^{3} = e^{0}$

Bước 5.2

Trừ $e^{0}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$64 x^{3} - e^{0} = 0$

Bước 5.3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$64 x^{3} - 1 \cdot 1 = 0$

Bước 5.3.2

Nhân $- 1$ với $1$ .

$64 x^{3} - 1 = 0$

Bước 5.4

Phân tích vế trái của phương trình thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Viết lại $64 x^{3}$ ở dạng ${(4 x)}^{3}$ .

${(4 x)}^{3} - 1 = 0$

Bước 5.4.2

Viết lại $1$ ở dạng $1^{3}$ .

${(4 x)}^{3} - 1^{3} = 0$

Bước 5.4.3

Vì cả hai số hạng đều là các số lập phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai lập phương, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ trong đó $a = 4 x$ và $b = 1$ .

$(4 x - 1) ({(4 x)}^{2} + 4 x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Bước 5.4.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.4.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $4 x$ .

$(4 x - 1) (4^{2} x^{2} + 4 x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Bước 5.4.4.2

Nâng $4$ lên lũy thừa $2$ .

$(4 x - 1) (16 x^{2} + 4 x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Bước 5.4.4.3

Nhân $4$ với $1$ .

$(4 x - 1) (16 x^{2} + 4 x + 1^{2}) = 0$

Bước 5.4.4.4

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$(4 x - 1) (16 x^{2} + 4 x + 1) = 0$

Bước 5.5

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$4 x - 1 = 0$

$16 x^{2} + 4 x + 1 = 0$

Bước 5.6

Đặt $4 x - 1$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.6.1

Đặt $4 x - 1$ bằng với $0$ .

$4 x - 1 = 0$

Bước 5.6.2

Giải $4 x - 1 = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.6.2.1

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$4 x = 1$

Bước 5.6.2.2

Chia mỗi số hạng trong $4 x = 1$ cho $4$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.6.2.2.1

Chia mỗi số hạng trong $4 x = 1$ cho $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

Bước 5.6.2.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.6.2.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.6.2.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

Bước 5.6.2.2.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{1}{4}$

Bước 5.7

Đặt $16 x^{2} + 4 x + 1$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.7.1

Đặt $16 x^{2} + 4 x + 1$ bằng với $0$ .

$16 x^{2} + 4 x + 1 = 0$

Bước 5.7.2

Giải $16 x^{2} + 4 x + 1 = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.7.2.1

Sử dụng công thức bậc hai để tìm các đáp án.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Bước 5.7.2.2

Thay các giá trị $a = 16$ , $b = 4$ , và $c = 1$ vào công thức bậc hai và giải tìm $x$ .

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (16 \cdot 1)}}{2 \cdot 16}$

Bước 5.7.2.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.7.2.3.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.7.2.3.1.1

Nâng $4$ lên lũy thừa $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 16 \cdot 1}}{2 \cdot 16}$

Bước 5.7.2.3.1.2

Nhân $- 4 \cdot 16 \cdot 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.7.2.3.1.2.1

Nhân $- 4$ với $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64 \cdot 1}}{2 \cdot 16}$

Bước 5.7.2.3.1.2.2

Nhân $- 64$ với $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2 \cdot 16}$

Bước 5.7.2.3.1.3

Trừ $64$ khỏi $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 16}$

Bước 5.7.2.3.1.4

Viết lại $- 48$ ở dạng $- 1 (48)$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 16}$

Bước 5.7.2.3.1.5

Viết lại $\sqrt{- 1 (48)}$ ở dạng $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 16}$

Bước 5.7.2.3.1.6

Viết lại $\sqrt{- 1}$ ở dạng $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 16}$

Bước 5.7.2.3.1.7

Viết lại $48$ ở dạng $4^{2} \cdot 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.7.2.3.1.7.1

Đưa $16$ ra ngoài $48$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 16}$

Bước 5.7.2.3.1.7.2

Viết lại $16$ ở dạng $4^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 16}$

Bước 5.7.2.3.1.8

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 16}$

Bước 5.7.2.3.1.9

Di chuyển $4$ sang phía bên trái của $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 16}$

Bước 5.7.2.3.2

Nhân $2$ với $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{32}$

Bước 5.7.2.3.3

Rút gọn $\frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{32}$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{8}$

Bước 5.7.2.4

Câu trả lời cuối cùng là sự kết hợp của cả hai đáp án.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{8}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{8}$

Bước 5.8

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $(4 x - 1) (16 x^{2} + 4 x + 1) = 0$ đúng.

$x = \frac{1}{4}, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{8}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{8}$