Giải tích Ví dụ

$2 \cos (3 x) + 1 = \cos (2 x) + 2 \cos (x)$

Bước 1

Chuyển tất cả các biểu thức sang vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Trừ $\cos (2 x)$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$2 \cos (3 x) + 1 - \cos (2 x) = 2 \cos (x)$

Bước 1.2

Trừ $2 \cos (x)$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$2 \cos (3 x) + 1 - \cos (2 x) - 2 \cos (x) = 0$

Bước 2

Rút gọn vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Sử dụng đẳng thức góc nhân ba để chuyển đổi $\cos (3 x)$ thành $4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x)$ .

$2 (4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x)) + 1 - \cos (2 x) - 2 \cos (x) = 0$

Bước 2.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$2 (4 \cos^{3} (x)) + 2 (- 3 \cos (x)) + 1 - \cos (2 x) - 2 \cos (x) = 0$

Bước 2.1.3

Nhân $4$ với $2$ .

$8 \cos^{3} (x) + 2 (- 3 \cos (x)) + 1 - \cos (2 x) - 2 \cos (x) = 0$

Bước 2.1.4

Nhân $- 3$ với $2$ .

$8 \cos^{3} (x) - 6 \cos (x) + 1 - \cos (2 x) - 2 \cos (x) = 0$

Bước 2.1.5

Sử dụng đẳng thức góc nhân đôi để chuyển $\cos (2 x)$ thành $2 \cos^{2} (x) - 1$ .

$8 \cos^{3} (x) - 6 \cos (x) + 1 - (2 \cos^{2} (x) - 1) - 2 \cos (x) = 0$

Bước 2.1.6

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$8 \cos^{3} (x) - 6 \cos (x) + 1 - (2 \cos^{2} (x)) + 1 - 2 \cos (x) = 0$

Bước 2.1.7

Nhân $2$ với $- 1$ .

$8 \cos^{3} (x) - 6 \cos (x) + 1 - 2 \cos^{2} (x) + 1 - 2 \cos (x) = 0$

Bước 2.1.8

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$8 \cos^{3} (x) - 6 \cos (x) + 1 - 2 \cos^{2} (x) + 1 - 2 \cos (x) = 0$

Bước 2.2

Rút gọn bằng cách cộng các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Trừ $2 \cos (x)$ khỏi $- 6 \cos (x)$ .

$8 \cos^{3} (x) + 1 - 2 \cos^{2} (x) + 1 - 8 \cos (x) = 0$

Bước 2.2.2

Cộng $1$ và $1$ .

$8 \cos^{3} (x) + 2 - 2 \cos^{2} (x) - 8 \cos (x) = 0$

Bước 3

Phân tích $8 \cos^{3} (x) + 2 - 2 \cos^{2} (x) - 8 \cos (x)$ thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Đưa $2$ ra ngoài $8 \cos^{3} (x) + 2 - 2 \cos^{2} (x) - 8 \cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $8 \cos^{3} (x)$ .

$2 (4 \cos^{3} (x)) + 2 - 2 \cos^{2} (x) - 8 \cos (x) = 0$

Bước 3.1.2

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$2 (4 \cos^{3} (x)) + 2 (1) - 2 \cos^{2} (x) - 8 \cos (x) = 0$

Bước 3.1.3

Đưa $2$ ra ngoài $- 2 \cos^{2} (x)$ .

$2 (4 \cos^{3} (x)) + 2 (1) + 2 (- \cos^{2} (x)) - 8 \cos (x) = 0$

Bước 3.1.4

Đưa $2$ ra ngoài $- 8 \cos (x)$ .

$2 (4 \cos^{3} (x)) + 2 (1) + 2 (- \cos^{2} (x)) + 2 (- 4 \cos (x)) = 0$

Bước 3.1.5

Đưa $2$ ra ngoài $2 (4 \cos^{3} (x)) + 2 (1)$ .

$2 (4 \cos^{3} (x) + 1) + 2 (- \cos^{2} (x)) + 2 (- 4 \cos (x)) = 0$

Bước 3.1.6

Đưa $2$ ra ngoài $2 (4 \cos^{3} (x) + 1) + 2 (- \cos^{2} (x))$ .

$2 (4 \cos^{3} (x) + 1 - \cos^{2} (x)) + 2 (- 4 \cos (x)) = 0$

Bước 3.1.7

Đưa $2$ ra ngoài $2 (4 \cos^{3} (x) + 1 - \cos^{2} (x)) + 2 (- 4 \cos (x))$ .

$2 (4 \cos^{3} (x) + 1 - \cos^{2} (x) - 4 \cos (x)) = 0$

Bước 3.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$2 (4 \cos^{3} (x) - \cos^{2} (x) - 4 \cos (x) + 1) = 0$

Bước 3.3

Đưa ước số chung lớn nhất từ từng nhóm ra ngoài.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Nhóm hai số hạng đầu tiên và hai số hạng cuối.

$2 (4 \cos^{3} (x) - \cos^{2} (x) - 4 \cos (x) + 1) = 0$

Bước 3.3.2

Đưa ước số chung lớn nhất (ƯCLN) từ từng nhóm ra ngoài.

$2 (\cos^{2} (x) (4 \cos (x) - 1) - (4 \cos (x) - 1)) = 0$

Bước 3.4

Phân tích đa thức thành thừa số bằng cách đưa ước số chung lớn nhất ra ngoài, $4 \cos (x) - 1$ .

$2 ((4 \cos (x) - 1) (\cos^{2} (x) - 1)) = 0$

Bước 3.5

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$2 ((4 \cos (x) - 1) (\cos^{2} (x) - 1^{2})) = 0$

Bước 3.6

Phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1

Phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1.1

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = \cos (x)$ và $b = 1$ .

$2 ((4 \cos (x) - 1) ((\cos (x) + 1) (\cos (x) - 1))) = 0$

Bước 3.6.1.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn không cần thiết.

$2 ((4 \cos (x) - 1) (\cos (x) + 1) (\cos (x) - 1)) = 0$

Bước 3.6.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn không cần thiết.

$2 (4 \cos (x) - 1) (\cos (x) + 1) (\cos (x) - 1) = 0$

Bước 4

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$4 \cos (x) - 1 = 0$

$\cos (x) + 1 = 0$

$\cos (x) - 1 = 0$

Bước 5

Đặt $4 \cos (x) - 1$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Đặt $4 \cos (x) - 1$ bằng với $0$ .

$4 \cos (x) - 1 = 0$

Bước 5.2

Giải $4 \cos (x) - 1 = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$4 \cos (x) = 1$

Bước 5.2.2

Chia mỗi số hạng trong $4 \cos (x) = 1$ cho $4$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1

Chia mỗi số hạng trong $4 \cos (x) = 1$ cho $4$ .

$\frac{4 \cos (x)}{4} = \frac{1}{4}$

Bước 5.2.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{4 \cos (x)}{4} = \frac{1}{4}$

Bước 5.2.2.2.1.2

Chia $\cos (x)$ cho $1$ .

$\cos (x) = \frac{1}{4}$

Bước 5.2.3

Lấy cosin nghịch đảo của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong cosin.

$x = \arccos (\frac{1}{4})$

Bước 5.2.4

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.1

Tính $\arccos (\frac{1}{4})$ .

$x = 1.31811607$

Bước 5.2.5

Hàm cosin dương ở góc phần tư thứ nhất và thứ tư. Để tìm đáp án thứ hai, hãy trừ góc tham chiếu khỏi $2 π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ tư.

$x = 2 (3.14159265) - 1.31811607$

Bước 5.2.6

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.6.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$x = 2 (3.14159265) - 1.31811607$

Bước 5.2.6.2

Rút gọn $2 (3.14159265) - 1.31811607$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.6.2.1

Nhân $2$ với $3.14159265$ .

$x = 6.2831853 - 1.31811607$

Bước 5.2.6.2.2

Trừ $1.31811607$ khỏi $6.2831853$ .

$x = 4.96506923$

Bước 5.2.7

Tìm chu kỳ của $\cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.7.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Bước 5.2.7.2

Thay thế $b$ với $1$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Bước 5.2.7.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Bước 5.2.7.4

Chia $2 π$ cho $1$ .

$2 π$

Bước 5.2.8

Chu kỳ của hàm $\cos (x)$ là $2 π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $2 π$ radian theo cả hai hướng.

$x = 1.31811607 + 2 π n, 4.96506923 + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 6

Đặt $\cos (x) + 1$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Đặt $\cos (x) + 1$ bằng với $0$ .

$\cos (x) + 1 = 0$

Bước 6.2

Giải $\cos (x) + 1 = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\cos (x) = - 1$

Bước 6.2.2

Lấy cosin nghịch đảo của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong cosin.

$x = \arccos (- 1)$

Bước 6.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.3.1

Giá trị chính xác của $\arccos (- 1)$ là $π$ .

$x = π$

Bước 6.2.4

Hàm cosin âm trong góc phần tư thứ hai và thứ ba. Để tìm đáp án thứ hai, hãy trừ góc tham chiếu từ $2 π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ ba.

$x = 2 π - π$

Bước 6.2.5

Trừ $π$ khỏi $2 π$ .

$x = π$

Bước 6.2.6

Tìm chu kỳ của $\cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.6.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Bước 6.2.6.2

Thay thế $b$ với $1$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Bước 6.2.6.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Bước 6.2.6.4

Chia $2 π$ cho $1$ .

$2 π$

Bước 6.2.7

Chu kỳ của hàm $\cos (x)$ là $2 π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $2 π$ radian theo cả hai hướng.

$x = π + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 7

Đặt $\cos (x) - 1$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Đặt $\cos (x) - 1$ bằng với $0$ .

$\cos (x) - 1 = 0$

Bước 7.2

Giải $\cos (x) - 1 = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$\cos (x) = 1$

Bước 7.2.2

Lấy cosin nghịch đảo của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong cosin.

$x = \arccos (1)$

Bước 7.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.3.1

Giá trị chính xác của $\arccos (1)$ là $0$ .

$x = 0$

Bước 7.2.4

Hàm cosin dương ở góc phần tư thứ nhất và thứ tư. Để tìm đáp án thứ hai, hãy trừ góc tham chiếu khỏi $2 π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ tư.

$x = 2 π - 0$

Bước 7.2.5

Trừ $0$ khỏi $2 π$ .

$x = 2 π$

Bước 7.2.6

Tìm chu kỳ của $\cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.6.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Bước 7.2.6.2

Thay thế $b$ với $1$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Bước 7.2.6.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Bước 7.2.6.4

Chia $2 π$ cho $1$ .

$2 π$

Bước 7.2.7

Chu kỳ của hàm $\cos (x)$ là $2 π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $2 π$ radian theo cả hai hướng.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 8

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $2 (4 \cos (x) - 1) (\cos (x) + 1) (\cos (x) - 1) = 0$ đúng.

$x = 1.31811607 + 2 π n, 4.96506923 + 2 π n, π + 2 π n, 2 π n, 2 π + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 9

Hợp nhất các câu trả lời.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Hợp nhất $π + 2 π n$ và $2 π n$ để $π n$ .

$x = 1.31811607 + 2 π n, 4.96506923 + 2 π n, π n, 2 π + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 9.2

Hợp nhất $π n$ và $2 π + 2 π n$ để $π n$ .

$x = 1.31811607 + 2 π n, 4.96506923 + 2 π n, π n$ , cho mọi số nguyên $n$