Giải tích Ví dụ

$2 \sin^{2} (2 x) - \sin (2 x) = 0$

Bước 1

Phân tích vế trái của phương trình thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Giả sử $u = \sin (2 x)$ . Thay $u$ cho tất cả các lần xuất hiện của $\sin (2 x)$ .

$2 u^{2} - u = 0$

Bước 1.2

Đưa $u$ ra ngoài $2 u^{2} - u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Đưa $u$ ra ngoài $2 u^{2}$ .

$u (2 u) - u = 0$

Bước 1.2.2

Đưa $u$ ra ngoài $- u$ .

$u (2 u) + u \cdot - 1 = 0$

Bước 1.2.3

Đưa $u$ ra ngoài $u (2 u) + u \cdot - 1$ .

$u (2 u - 1) = 0$

Bước 1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\sin (2 x)$ .

$\sin (2 x) (2 \sin (2 x) - 1) = 0$

Bước 2

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$\sin (2 x) = 0$

$2 \sin (2 x) - 1 = 0$

Bước 3

Đặt $\sin (2 x)$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Đặt $\sin (2 x)$ bằng với $0$ .

$\sin (2 x) = 0$

Bước 3.2

Giải $\sin (2 x) = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Lấy nghịch đảo sin của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong hàm sin.

$2 x = \arcsin (0)$

Bước 3.2.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Giá trị chính xác của $\arcsin (0)$ là $0$ .

$2 x = 0$

Bước 3.2.3

Chia mỗi số hạng trong $2 x = 0$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.3.1

Chia mỗi số hạng trong $2 x = 0$ cho $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Bước 3.2.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Bước 3.2.3.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Bước 3.2.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.3.3.1

Chia $0$ cho $2$ .

$x = 0$

Bước 3.2.4

Hàm sin dương trong góc phần tư thứ nhất và thứ hai. Để tìm đáp án thứ hai, trừ góc tham chiếu khỏi $π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ hai.

$2 x = π - 0$

Bước 3.2.5

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.5.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.5.1.1

Nhân $- 1$ với $0$ .

$2 x = π + 0$

Bước 3.2.5.1.2

Cộng $π$ và $0$ .

$2 x = π$

Bước 3.2.5.2

Chia mỗi số hạng trong $2 x = π$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.5.2.1

Chia mỗi số hạng trong $2 x = π$ cho $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

Bước 3.2.5.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.5.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.5.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

Bước 3.2.5.2.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{π}{2}$

Bước 3.2.6

Tìm chu kỳ của $\sin (2 x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.6.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Bước 3.2.6.2

Thay thế $b$ với $2$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Bước 3.2.6.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $2$ là $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Bước 3.2.6.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 π}{2}$

Bước 3.2.6.4.2

Chia $π$ cho $1$ .

$π$

Bước 3.2.7

Chu kỳ của hàm $\sin (2 x)$ là $π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $π$ radian theo cả hai hướng.

$x = π n, \frac{π}{2} + π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 4

Đặt $2 \sin (2 x) - 1$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Đặt $2 \sin (2 x) - 1$ bằng với $0$ .

$2 \sin (2 x) - 1 = 0$

Bước 4.2

Giải $2 \sin (2 x) - 1 = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$2 \sin (2 x) = 1$

Bước 4.2.2

Chia mỗi số hạng trong $2 \sin (2 x) = 1$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1

Chia mỗi số hạng trong $2 \sin (2 x) = 1$ cho $2$ .

$\frac{2 \sin (2 x)}{2} = \frac{1}{2}$

Bước 4.2.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \sin (2 x)}{2} = \frac{1}{2}$

Bước 4.2.2.2.1.2

Chia $\sin (2 x)$ cho $1$ .

$\sin (2 x) = \frac{1}{2}$

Bước 4.2.3

Lấy nghịch đảo sin của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong hàm sin.

$2 x = \arcsin (\frac{1}{2})$

Bước 4.2.4

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.4.1

Giá trị chính xác của $\arcsin (\frac{1}{2})$ là $\frac{π}{6}$ .

$2 x = \frac{π}{6}$

Bước 4.2.5

Chia mỗi số hạng trong $2 x = \frac{π}{6}$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.5.1

Chia mỗi số hạng trong $2 x = \frac{π}{6}$ cho $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{6}}{2}$

Bước 4.2.5.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.5.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.5.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{6}}{2}$

Bước 4.2.5.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{6}}{2}$

Bước 4.2.5.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.5.3.1

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$x = \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

Bước 4.2.5.3.2

Nhân $\frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.5.3.2.1

Nhân $\frac{π}{6}$ với $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{6 \cdot 2}$

Bước 4.2.5.3.2.2

Nhân $6$ với $2$ .

$x = \frac{π}{12}$

Bước 4.2.6

Hàm sin dương trong góc phần tư thứ nhất và thứ hai. Để tìm đáp án thứ hai, trừ góc tham chiếu khỏi $π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ hai.

$2 x = π - \frac{π}{6}$

Bước 4.2.7

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.7.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.7.1.1

Để viết $π$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{6}{6}$ .

$2 x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Bước 4.2.7.1.2

Kết hợp $π$ và $\frac{6}{6}$ .

$2 x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Bước 4.2.7.1.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$2 x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Bước 4.2.7.1.4

Trừ $π$ khỏi $π \cdot 6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.7.1.4.1

Sắp xếp lại $π$ và $6$ .

$2 x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Bước 4.2.7.1.4.2

Trừ $π$ khỏi $6 \cdot π$ .

$2 x = \frac{5 \cdot π}{6}$

Bước 4.2.7.2

Chia mỗi số hạng trong $2 x = \frac{5 \cdot π}{6}$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.7.2.1

Chia mỗi số hạng trong $2 x = \frac{5 \cdot π}{6}$ cho $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{2}$

Bước 4.2.7.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.7.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.7.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{2}$

Bước 4.2.7.2.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{2}$

Bước 4.2.7.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.7.2.3.1

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$x = \frac{5 \cdot π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

Bước 4.2.7.2.3.2

Nhân $\frac{5 π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.7.2.3.2.1

Nhân $\frac{5 π}{6}$ với $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{5 π}{6 \cdot 2}$

Bước 4.2.7.2.3.2.2

Nhân $6$ với $2$ .

$x = \frac{5 π}{12}$

Bước 4.2.8

Tìm chu kỳ của $\sin (2 x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.8.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Bước 4.2.8.2

Thay thế $b$ với $2$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Bước 4.2.8.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $2$ là $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Bước 4.2.8.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.8.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 π}{2}$

Bước 4.2.8.4.2

Chia $π$ cho $1$ .

$π$

Bước 4.2.9

Chu kỳ của hàm $\sin (2 x)$ là $π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $π$ radian theo cả hai hướng.

$x = \frac{π}{12} + π n, \frac{5 π}{12} + π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 5

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $\sin (2 x) (2 \sin (2 x) - 1) = 0$ đúng.

$x = π n, \frac{π}{2} + π n, \frac{π}{12} + π n, \frac{5 π}{12} + π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 6

Hợp nhất $π n$ và $\frac{π}{2} + π n$ để $\frac{π n}{2}$ .

$x = \frac{π n}{2}, \frac{π}{12} + π n, \frac{5 π}{12} + π n$ , cho mọi số nguyên $n$