Giải tích Ví dụ

$\ln (x) = \frac{1}{3} \cdot (\ln (16) + 2 \ln (2))$

Bước 1

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Rút gọn $\frac{1}{3} \cdot (\ln (16) + 2 \ln (2))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\ln (x) = \frac{1}{3} \ln (16) + \frac{1}{3} (2 \ln (2))$

Bước 1.1.2

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $\ln (16)$ .

$\ln (x) = \frac{\ln (16)}{3} + \frac{1}{3} (2 \ln (2))$

Bước 1.1.3

Nhân $\frac{1}{3} (2 \ln (2))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{3}$ .

$\ln (x) = \frac{\ln (16)}{3} + \frac{2}{3} \ln (2)$

Bước 1.1.3.2

Kết hợp $\frac{2}{3}$ và $\ln (2)$ .

$\ln (x) = \frac{\ln (16)}{3} + \frac{2 \ln (2)}{3}$

Bước 2

Nhân mỗi số hạng trong $\ln (x) = \frac{\ln (16)}{3} + \frac{2 \ln (2)}{3}$ với $3$ để loại bỏ các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Nhân mỗi số hạng trong $\ln (x) = \frac{\ln (16)}{3} + \frac{2 \ln (2)}{3}$ với $3$ .

$\ln (x) \cdot 3 = \frac{\ln (16)}{3} \cdot 3 + \frac{2 \ln (2)}{3} \cdot 3$

Bước 2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $\ln (x)$ .

$3 \ln (x) = \frac{\ln (16)}{3} \cdot 3 + \frac{2 \ln (2)}{3} \cdot 3$

Bước 2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$3 \ln (x) = \frac{\ln (16)}{3} \cdot 3 + \frac{2 \ln (2)}{3} \cdot 3$

Bước 2.3.1.1.2

Viết lại biểu thức.

$3 \ln (x) = \ln (16) + \frac{2 \ln (2)}{3} \cdot 3$

Bước 2.3.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$3 \ln (x) = \ln (16) + \frac{2 \ln (2)}{3} \cdot 3$

Bước 2.3.1.2.2

Viết lại biểu thức.

$3 \ln (x) = \ln (16) + 2 \ln (2)$

Bước 3

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Rút gọn $3 \ln (x)$ bằng cách di chuyển $3$ trong logarit.

$\ln (x^{3}) = \ln (16) + 2 \ln (2)$

Bước 4

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Rút gọn $\ln (16) + 2 \ln (2)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1.1

Rút gọn $2 \ln (2)$ bằng cách di chuyển $2$ trong logarit.

$\ln (x^{3}) = \ln (16) + \ln (2^{2})$

Bước 4.1.1.2

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$\ln (x^{3}) = \ln (16) + \ln (4)$

Bước 4.1.2

Sử dụng tính chất tích số của logarit, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (x^{3}) = \ln (16 \cdot 4)$

Bước 4.1.3

Nhân $16$ với $4$ .

$\ln (x^{3}) = \ln (64)$

Bước 5

Để cân bằng phương trình, đối số của logarit trên cả hai vế của phương trình phải cân bằng.

$x^{3} = 64$

Bước 6

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Trừ $64$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x^{3} - 64 = 0$

Bước 6.2

Phân tích vế trái của phương trình thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Viết lại $64$ ở dạng $4^{3}$ .

$x^{3} - 4^{3} = 0$

Bước 6.2.2

Vì cả hai số hạng đều là các số lập phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai lập phương, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ trong đó $a = x$ và $b = 4$ .

$(x - 4) (x^{2} + x \cdot 4 + 4^{2}) = 0$

Bước 6.2.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.3.1

Di chuyển $4$ sang phía bên trái của $x$ .

$(x - 4) (x^{2} + 4 x + 4^{2}) = 0$

Bước 6.2.3.2

Nâng $4$ lên lũy thừa $2$ .

$(x - 4) (x^{2} + 4 x + 16) = 0$

Bước 6.3

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$x - 4 = 0$

$x^{2} + 4 x + 16 = 0$

Bước 6.4

Đặt $x - 4$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.1

Đặt $x - 4$ bằng với $0$ .

$x - 4 = 0$

Bước 6.4.2

Cộng $4$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 4$

Bước 6.5

Đặt $x^{2} + 4 x + 16$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.1

Đặt $x^{2} + 4 x + 16$ bằng với $0$ .

$x^{2} + 4 x + 16 = 0$

Bước 6.5.2

Giải $x^{2} + 4 x + 16 = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.2.1

Sử dụng công thức bậc hai để tìm các đáp án.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Bước 6.5.2.2

Thay các giá trị $a = 1$ , $b = 4$ , và $c = 16$ vào công thức bậc hai và giải tìm $x$ .

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 16)}}{2 \cdot 1}$

Bước 6.5.2.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.2.3.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.2.3.1.1

Nâng $4$ lên lũy thừa $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Bước 6.5.2.3.1.2

Nhân $- 4 \cdot 1 \cdot 16$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.2.3.1.2.1

Nhân $- 4$ với $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Bước 6.5.2.3.1.2.2

Nhân $- 4$ với $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2 \cdot 1}$

Bước 6.5.2.3.1.3

Trừ $64$ khỏi $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 1}$

Bước 6.5.2.3.1.4

Viết lại $- 48$ ở dạng $- 1 (48)$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 1}$

Bước 6.5.2.3.1.5

Viết lại $\sqrt{- 1 (48)}$ ở dạng $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Bước 6.5.2.3.1.6

Viết lại $\sqrt{- 1}$ ở dạng $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Bước 6.5.2.3.1.7

Viết lại $48$ ở dạng $4^{2} \cdot 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.2.3.1.7.1

Đưa $16$ ra ngoài $48$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 1}$

Bước 6.5.2.3.1.7.2

Viết lại $16$ ở dạng $4^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Bước 6.5.2.3.1.8

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Bước 6.5.2.3.1.9

Di chuyển $4$ sang phía bên trái của $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Bước 6.5.2.3.2

Nhân $2$ với $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$

Bước 6.5.2.3.3

Rút gọn $\frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 2 \pm 2 i \sqrt{3}$

Bước 6.5.2.4

Câu trả lời cuối cùng là sự kết hợp của cả hai đáp án.

$x = - 2 + 2 i \sqrt{3}, - 2 - 2 i \sqrt{3}$

Bước 6.6

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $(x - 4) (x^{2} + 4 x + 16) = 0$ đúng.

$x = 4, - 2 + 2 i \sqrt{3}, - 2 - 2 i \sqrt{3}$