Giải tích Ví dụ

$\frac{e - e^{- 1}}{e + e^{- 1}}$

Bước 1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{e - \frac{1}{e}}{e + e^{- 1}}$

Bước 1.2

Để viết $e$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{e}{e}$ .

$\frac{\frac{e e}{e} - \frac{1}{e}}{e + e^{- 1}}$

Bước 1.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{\frac{e e - 1}{e}}{e + e^{- 1}}$

Bước 1.4

Viết lại $\frac{e e - 1}{e}$ ở dạng đã được phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Nhân $e e$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1.1

Nâng $e$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\frac{e^{1} e - 1}{e}}{e + e^{- 1}}$

Bước 1.4.1.2

Nâng $e$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\frac{e^{1} e^{1} - 1}{e}}{e + e^{- 1}}$

Bước 1.4.1.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{\frac{e^{1 + 1} - 1}{e}}{e + e^{- 1}}$

Bước 1.4.1.4

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{\frac{e^{2} - 1}{e}}{e + e^{- 1}}$

Bước 1.4.2

Viết lại $e^{2} - 1$ ở dạng đã được phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.2.1

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$\frac{\frac{e^{2} - 1^{2}}{e}}{e + e^{- 1}}$

Bước 1.4.2.2

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = e$ và $b = 1$ .

$\frac{\frac{(e + 1) (e - 1)}{e}}{e + e^{- 1}}$

Bước 2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\frac{(e + 1) (e - 1)}{e}}{e + \frac{1}{e}}$

Bước 2.2

Để viết $e$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{e}{e}$ .

$\frac{\frac{(e + 1) (e - 1)}{e}}{\frac{e e}{e} + \frac{1}{e}}$

Bước 2.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{\frac{(e + 1) (e - 1)}{e}}{\frac{e e + 1}{e}}$

Bước 2.4

Nhân $e e$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Nâng $e$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\frac{(e + 1) (e - 1)}{e}}{\frac{e^{1} e + 1}{e}}$

Bước 2.4.2

Nâng $e$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\frac{(e + 1) (e - 1)}{e}}{\frac{e^{1} e^{1} + 1}{e}}$

Bước 2.4.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{\frac{(e + 1) (e - 1)}{e}}{\frac{e^{1 + 1} + 1}{e}}$

Bước 2.4.4

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{\frac{(e + 1) (e - 1)}{e}}{\frac{e^{2} + 1}{e}}$

Bước 3

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$\frac{(e + 1) (e - 1)}{e} \cdot \frac{e}{e^{2} + 1}$

Bước 4

Triệt tiêu thừa số chung $e$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{(e + 1) (e - 1)}{e} \cdot \frac{e}{e^{2} + 1}$

Bước 4.2

Viết lại biểu thức.

$(e + 1) (e - 1) \frac{1}{e^{2} + 1}$

Bước 5

Khai triển $(e + 1) (e - 1)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$(e (e - 1) + 1 (e - 1)) \frac{1}{e^{2} + 1}$

Bước 5.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$(e e + e \cdot - 1 + 1 (e - 1)) \frac{1}{e^{2} + 1}$

Bước 5.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$(e e + e \cdot - 1 + 1 e + 1 \cdot - 1) \frac{1}{e^{2} + 1}$

Bước 6

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Nhân $e e$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.1

Nâng $e$ lên lũy thừa $1$ .

$(e^{1} e + e \cdot - 1 + 1 e + 1 \cdot - 1) \frac{1}{e^{2} + 1}$

Bước 6.1.1.2

Nâng $e$ lên lũy thừa $1$ .

$(e^{1} e^{1} + e \cdot - 1 + 1 e + 1 \cdot - 1) \frac{1}{e^{2} + 1}$

Bước 6.1.1.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$(e^{1 + 1} + e \cdot - 1 + 1 e + 1 \cdot - 1) \frac{1}{e^{2} + 1}$

Bước 6.1.1.4

Cộng $1$ và $1$ .

$(e^{2} + e \cdot - 1 + 1 e + 1 \cdot - 1) \frac{1}{e^{2} + 1}$

Bước 6.1.2

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $e$ .

$(e^{2} - 1 \cdot e + 1 e + 1 \cdot - 1) \frac{1}{e^{2} + 1}$

Bước 6.1.3

Viết lại $- 1 e$ ở dạng $- e$ .

$(e^{2} - e + 1 e + 1 \cdot - 1) \frac{1}{e^{2} + 1}$

Bước 6.1.4

Nhân $e$ với $1$ .

$(e^{2} - e + e + 1 \cdot - 1) \frac{1}{e^{2} + 1}$

Bước 6.1.5

Nhân $- 1$ với $1$ .

$(e^{2} - e + e - 1) \frac{1}{e^{2} + 1}$

Bước 6.2

Cộng $- e$ và $e$ .

$(e^{2} + 0 - 1) \frac{1}{e^{2} + 1}$

Bước 6.3

Cộng $e^{2}$ và $0$ .

$(e^{2} - 1) \frac{1}{e^{2} + 1}$

Bước 7

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$e^{2} \frac{1}{e^{2} + 1} - 1 \frac{1}{e^{2} + 1}$

Bước 7.2

Kết hợp $e^{2}$ và $\frac{1}{e^{2} + 1}$ .

$\frac{e^{2}}{e^{2} + 1} - 1 \frac{1}{e^{2} + 1}$

Bước 7.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1

Viết lại $- 1 \frac{1}{e^{2} + 1}$ ở dạng $- \frac{1}{e^{2} + 1}$ .

$\frac{e^{2}}{e^{2} + 1} - \frac{1}{e^{2} + 1}$

Bước 7.3.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{e^{2} - 1}{e^{2} + 1}$

Bước 8

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$\frac{e^{2} - 1^{2}}{e^{2} + 1}$

Bước 8.2

$\frac{(e + 1) (e - 1)}{e^{2} + 1}$

Bước 9

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{(e + 1) (e - 1)}{e^{2} + 1}$

Dạng thập phân:

$0.76159415 \dots$