Giải tích Ví dụ

$\frac{8 x^{3} - 27}{2 x^{2} - x - 3} < \frac{3}{2}$

Bước 1

Trừ $\frac{3}{2}$ khỏi cả hai vế của bất đẳng thức.

$\frac{8 x^{3} - 27}{2 x^{2} - x - 3} - \frac{3}{2} < 0$

Bước 2

Rút gọn $\frac{8 x^{3} - 27}{2 x^{2} - x - 3} - \frac{3}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.1

Viết lại $8 x^{3}$ ở dạng ${(2 x)}^{3}$ .

$\frac{{(2 x)}^{3} - 27}{2 x^{2} - x - 3} - \frac{3}{2} < 0$

Bước 2.1.1.2

Viết lại $27$ ở dạng $3^{3}$ .

$\frac{{(2 x)}^{3} - 3^{3}}{2 x^{2} - x - 3} - \frac{3}{2} < 0$

Bước 2.1.1.3

Vì cả hai số hạng đều là các số lập phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai lập phương, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ trong đó $a = 2 x$ và $b = 3$ .

$\frac{(2 x - 3) ({(2 x)}^{2} + 2 x \cdot 3 + 3^{2})}{2 x^{2} - x - 3} - \frac{3}{2} < 0$

Bước 2.1.1.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.4.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $2 x$ .

$\frac{(2 x - 3) (2^{2} x^{2} + 2 x \cdot 3 + 3^{2})}{2 x^{2} - x - 3} - \frac{3}{2} < 0$

Bước 2.1.1.4.2

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{(2 x - 3) (4 x^{2} + 2 x \cdot 3 + 3^{2})}{2 x^{2} - x - 3} - \frac{3}{2} < 0$

Bước 2.1.1.4.3

Nhân $3$ với $2$ .

$\frac{(2 x - 3) (4 x^{2} + 6 x + 3^{2})}{2 x^{2} - x - 3} - \frac{3}{2} < 0$

Bước 2.1.1.4.4

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{(2 x - 3) (4 x^{2} + 6 x + 9)}{2 x^{2} - x - 3} - \frac{3}{2} < 0$

Bước 2.1.2

Phân tích thành thừa số bằng cách nhóm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1

Đối với đa thức có dạng $a x^{2} + b x + c$ , hãy viết lại số hạng ở giữa là tổng của hai số hạng có tích là $a \cdot c = 2 \cdot - 3 = - 6$ và có tổng là $b = - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1.1

Đưa $- 1$ ra ngoài $- x$ .

$\frac{(2 x - 3) (4 x^{2} + 6 x + 9)}{2 x^{2} - (x) - 3} - \frac{3}{2} < 0$

Bước 2.1.2.1.2

Viết lại $- 1$ ở dạng $2$ cộng $- 3$

$\frac{(2 x - 3) (4 x^{2} + 6 x + 9)}{2 x^{2} + (2 - 3) x - 3} - \frac{3}{2} < 0$

Bước 2.1.2.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{(2 x - 3) (4 x^{2} + 6 x + 9)}{2 x^{2} + 2 x - 3 x - 3} - \frac{3}{2} < 0$

Bước 2.1.2.2

Đưa ước số chung lớn nhất từ từng nhóm ra ngoài.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.2.1

Nhóm hai số hạng đầu tiên và hai số hạng cuối.

$\frac{(2 x - 3) (4 x^{2} + 6 x + 9)}{(2 x^{2} + 2 x) - 3 x - 3} - \frac{3}{2} < 0$

Bước 2.1.2.2.2

Đưa ước số chung lớn nhất (ƯCLN) từ từng nhóm ra ngoài.

$\frac{(2 x - 3) (4 x^{2} + 6 x + 9)}{2 x (x + 1) - 3 (x + 1)} - \frac{3}{2} < 0$

Bước 2.1.2.3

Phân tích đa thức thành thừa số bằng cách đưa ước số chung lớn nhất ra ngoài, $x + 1$ .

$\frac{(2 x - 3) (4 x^{2} + 6 x + 9)}{(x + 1) (2 x - 3)} - \frac{3}{2} < 0$

Bước 2.1.3

Triệt tiêu thừa số chung $2 x - 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{(2 x - 3) (4 x^{2} + 6 x + 9)}{(x + 1) (2 x - 3)} - \frac{3}{2} < 0$

Bước 2.1.3.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{4 x^{2} + 6 x + 9}{x + 1} - \frac{3}{2} < 0$

Bước 2.2

Để viết $\frac{4 x^{2} + 6 x + 9}{x + 1}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{4 x^{2} + 6 x + 9}{x + 1} \cdot \frac{2}{2} - \frac{3}{2} < 0$

Bước 2.3

Để viết $- \frac{3}{2}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{4 x^{2} + 6 x + 9}{x + 1} \cdot \frac{2}{2} - \frac{3}{2} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} < 0$

Bước 2.4

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $(x + 1) \cdot 2$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Nhân $\frac{4 x^{2} + 6 x + 9}{x + 1}$ với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(4 x^{2} + 6 x + 9) \cdot 2}{(x + 1) \cdot 2} - \frac{3}{2} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} < 0$

Bước 2.4.2

Nhân $\frac{3}{2}$ với $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{(4 x^{2} + 6 x + 9) \cdot 2}{(x + 1) \cdot 2} - \frac{3 (x + 1)}{2 (x + 1)} < 0$

Bước 2.4.3

Sắp xếp lại các thừa số của $(x + 1) \cdot 2$ .

$\frac{(4 x^{2} + 6 x + 9) \cdot 2}{2 (x + 1)} - \frac{3 (x + 1)}{2 (x + 1)} < 0$

Bước 2.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{(4 x^{2} + 6 x + 9) \cdot 2 - 3 (x + 1)}{2 (x + 1)} < 0$

Bước 2.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{4 x^{2} \cdot 2 + 6 x \cdot 2 + 9 \cdot 2 - 3 (x + 1)}{2 (x + 1)} < 0$

Bước 2.6.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.2.1

Nhân $2$ với $4$ .

$\frac{8 x^{2} + 6 x \cdot 2 + 9 \cdot 2 - 3 (x + 1)}{2 (x + 1)} < 0$

Bước 2.6.2.2

Nhân $2$ với $6$ .

$\frac{8 x^{2} + 12 x + 9 \cdot 2 - 3 (x + 1)}{2 (x + 1)} < 0$

Bước 2.6.2.3

Nhân $9$ với $2$ .

$\frac{8 x^{2} + 12 x + 18 - 3 (x + 1)}{2 (x + 1)} < 0$

Bước 2.6.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{8 x^{2} + 12 x + 18 - 3 x - 3 \cdot 1}{2 (x + 1)} < 0$

Bước 2.6.4

Nhân $- 3$ với $1$ .

$\frac{8 x^{2} + 12 x + 18 - 3 x - 3}{2 (x + 1)} < 0$

Bước 2.6.5

Trừ $3 x$ khỏi $12 x$ .

$\frac{8 x^{2} + 9 x + 18 - 3}{2 (x + 1)} < 0$

Bước 2.6.6

Trừ $3$ khỏi $18$ .

$\frac{8 x^{2} + 9 x + 15}{2 (x + 1)} < 0$

Bước 3

Tìm tất cả các giá trị mà tại đó biểu thức chuyển từ âm sang dương bằng cách đặt từng thừa số bằng $0$ và giải.

$8 x^{2} + 9 x + 15 = 0$

$x + 1 = 0$

Bước 4

Sử dụng công thức bậc hai để tìm các đáp án.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Bước 5

Thay các giá trị $a = 8$ , $b = 9$ , và $c = 15$ vào công thức bậc hai và giải tìm $x$ .

$\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot (8 \cdot 15)}}{2 \cdot 8}$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Nâng $9$ lên lũy thừa $2$ .

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot 8 \cdot 15}}{2 \cdot 8}$

Bước 6.1.2

Nhân $- 4 \cdot 8 \cdot 15$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.2.1

Nhân $- 4$ với $8$ .

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 32 \cdot 15}}{2 \cdot 8}$

Bước 6.1.2.2

Nhân $- 32$ với $15$ .

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 480}}{2 \cdot 8}$

Bước 6.1.3

Trừ $480$ khỏi $81$ .

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{- 399}}{2 \cdot 8}$

Bước 6.1.4

Viết lại $- 399$ ở dạng $- 1 (399)$ .

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{- 1 \cdot 399}}{2 \cdot 8}$

Bước 6.1.5

Viết lại $\sqrt{- 1 (399)}$ ở dạng $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{399}$ .

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{399}}{2 \cdot 8}$

Bước 6.1.6

Viết lại $\sqrt{- 1}$ ở dạng $i$ .

$x = \frac{- 9 \pm i \sqrt{399}}{2 \cdot 8}$

Bước 6.2

Nhân $2$ với $8$ .

$x = \frac{- 9 \pm i \sqrt{399}}{16}$

Bước 7

Câu trả lời cuối cùng là sự kết hợp của cả hai đáp án.

$x = - \frac{9 - i \sqrt{399}}{16}, - \frac{9 + i \sqrt{399}}{16}$

Bước 8

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x = - 1$

Bước 9

Giải tìm từng thừa số để tìm các giá trị mà giá trị tuyệt đối của biểu thức đi từ âm sang dương.

$x = - \frac{9 - i \sqrt{399}}{16}, - \frac{9 + i \sqrt{399}}{16}$

$x = - 1$

Bước 10

Tìm tập xác định của $\frac{8 x^{2} + 9 x + 15}{2 (x + 1)}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Đặt mẫu số trong $\frac{8 x^{2} + 9 x + 15}{2 (x + 1)}$ bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$2 (x + 1) = 0$

Bước 10.2

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.1

Chia mỗi số hạng trong $2 (x + 1) = 0$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.1.1

Chia mỗi số hạng trong $2 (x + 1) = 0$ cho $2$ .

$\frac{2 (x + 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Bước 10.2.1.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.1.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 (x + 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Bước 10.2.1.2.1.2

Chia $x + 1$ cho $1$ .

$x + 1 = \frac{0}{2}$

Bước 10.2.1.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.1.3.1

Chia $0$ cho $2$ .

$x + 1 = 0$

Bước 10.2.2

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x = - 1$

Bước 10.3

Tập xác định là tất cả các giá trị của $x$ và làm cho biểu thức xác định.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$

Bước 11

Đáp án bao gồm tất cả các khoảng thực sự.

$x < - 1$

Bước 12

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng bất đẳng thức:

$x < - 1$

Ký hiệu khoảng:

$(- \infty, - 1)$

Bước 13