Giải tích Ví dụ

$e^{2 x} - 3 e^{x} + 2 < 0$

Bước 1

Viết lại $e^{2 x}$ dưới dạng số mũ.

${(e^{x})}^{2} - 3 e^{x} + 2 = 0$

Bước 2

Thay $u$ bằng $e^{x}$ .

$u^{2} - 3 u + 2 = 0$

Bước 3

Giải tìm $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Phân tích $u^{2} - 3 u + 2$ thành thừa số bằng phương pháp AC.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Xét dạng $x^{2} + b x + c$ . Tìm một cặp số nguyên mà tích số của chúng là $c$ và tổng của chúng là $b$ . Trong trường hợp này, tích số của chúng là $2$ và tổng của chúng là $- 3$ .

$- 2, - 1$

Bước 3.1.2

Viết dạng đã được phân tích thành thừa số bằng các số nguyên này.

$(u - 2) (u - 1) = 0$

Bước 3.2

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$u - 2 = 0$

$u - 1 = 0$

Bước 3.3

Đặt $u - 2$ bằng $0$ và giải tìm $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Đặt $u - 2$ bằng với $0$ .

$u - 2 = 0$

Bước 3.3.2

Cộng $2$ cho cả hai vế của phương trình.

$u = 2$

Bước 3.4

Đặt $u - 1$ bằng $0$ và giải tìm $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Đặt $u - 1$ bằng với $0$ .

$u - 1 = 0$

Bước 3.4.2

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$u = 1$

Bước 3.5

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $(u - 2) (u - 1) = 0$ đúng.

$u = 2, 1$

Bước 4

Thay $2$ cho $u$ trong $u = e^{x}$ .

$2 = e^{x}$

Bước 5

Giải $2 = e^{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Viết lại phương trình ở dạng $e^{x} = 2$ .

$e^{x} = 2$

Bước 5.2

Lấy logarit tự nhiên của cả hai vế của phương trình để loại bỏ biến khỏi số mũ.

$\ln (e^{x}) = \ln (2)$

Bước 5.3

Khai triển vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Khai triển $\ln (e^{x})$ bằng cách di chuyển $x$ ra bên ngoài lôgarit.

$x \ln (e) = \ln (2)$

Bước 5.3.2

Logarit tự nhiên của $e$ là $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (2)$

Bước 5.3.3

Nhân $x$ với $1$ .

$x = \ln (2)$

Bước 6

Thay $1$ cho $u$ trong $u = e^{x}$ .

$1 = e^{x}$

Bước 7

Giải $1 = e^{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Viết lại phương trình ở dạng $e^{x} = 1$ .

$e^{x} = 1$

Bước 7.2

Lấy logarit tự nhiên của cả hai vế của phương trình để loại bỏ biến khỏi số mũ.

$\ln (e^{x}) = \ln (1)$

Bước 7.3

Khai triển vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1

Khai triển $\ln (e^{x})$ bằng cách di chuyển $x$ ra bên ngoài lôgarit.

$x \ln (e) = \ln (1)$

Bước 7.3.2

Logarit tự nhiên của $e$ là $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (1)$

Bước 7.3.3

Nhân $x$ với $1$ .

$x = \ln (1)$

Bước 7.4

Logarit tự nhiên của $1$ là $0$ .

$x = 0$

Bước 8

Liệt kê các đáp án và làm cho phương trình đúng.

$x = \ln (2), 0$

Bước 9

Sử dụng mỗi nghiệm để tạo các khoảng kiểm định.

$x < 0$

$0 < x < \ln (2)$

$x > \ln (2)$

Bước 10

Chọn một giá trị kiểm định từ mỗi khoảng và điền giá trị này vào bất đẳng thức ban đầu để xác định khoảng nào thỏa mãn bất đẳng thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $x < 0$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1.1

Chọn một giá trị trên khoảng $x < 0$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = - 2$

Bước 10.1.2

Thay thế $x$ bằng $- 2$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$e^{2 (- 2)} - 3 e^{- 2} + 2 < 0$

Bước 10.1.3

Vế trái $1.61230978$ không nhỏ hơn vế phải $0$ , có nghĩa là câu đã cho sai.

False

Bước 10.2

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $0 < x < \ln (2)$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.1

Chọn một giá trị trên khoảng $0 < x < \ln (2)$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 0.35$

Bước 10.2.2

Thay thế $x$ bằng $0.35$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$e^{2 (0.35)} - 3 e^{0.35} + 2 < 0$

Bước 10.2.3

Vế trái $- 0.24344993$ nhỏ hơn vế phải $0$ , có nghĩa là câu đã cho luôn đúng.

True

Bước 10.3

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $x > \ln (2)$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.3.1

Chọn một giá trị trên khoảng $x > \ln (2)$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 3$

Bước 10.3.2

Thay thế $x$ bằng $3$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$e^{2 (3)} - 3 e^{3} + 2 < 0$

Bước 10.3.3

Vế trái $345.17218272$ không nhỏ hơn vế phải $0$ , có nghĩa là câu đã cho sai.

False

Bước 10.4

So sánh các khoảng để xác định khoảng nào thỏa mãn bất phương trình ban đầu.

$x < 0$ Sai

$0 < x < \ln (2)$ Đúng

$x > \ln (2)$ Sai

$x < 0$ Sai

$0 < x < \ln (2)$ Đúng

$x > \ln (2)$ Sai

Bước 11

Đáp án bao gồm tất cả các khoảng thực sự.

$0 < x < \ln (2)$

Bước 12

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng bất đẳng thức:

$0 < x < \ln (2)$

Ký hiệu khoảng:

$(0, \ln (2))$

Bước 13