Giải tích Ví dụ

$\frac{| 2 x - 1 |}{2 - x} < 1$

Bước 1

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của bất đẳng thức.

$\frac{| 2 x - 1 |}{2 - x} - 1 < 0$

Bước 2

Rút gọn $\frac{| 2 x - 1 |}{2 - x} - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2 - x}{2 - x}$ .

$\frac{| 2 x - 1 |}{2 - x} - 1 \cdot \frac{2 - x}{2 - x} < 0$

Bước 2.2

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2 - x}{2 - x}$ .

$\frac{| 2 x - 1 |}{2 - x} + \frac{- (2 - x)}{2 - x} < 0$

Bước 2.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{| 2 x - 1 | - (2 - x)}{2 - x} < 0$

Bước 2.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{| 2 x - 1 | - 1 \cdot 2 - - x}{2 - x} < 0$

Bước 2.4.2

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{| 2 x - 1 | - 2 - - x}{2 - x} < 0$

Bước 2.4.3

Nhân $- - x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.3.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{| 2 x - 1 | - 2 + 1 x}{2 - x} < 0$

Bước 2.4.3.2

Nhân $x$ với $1$ .

$\frac{| 2 x - 1 | - 2 + x}{2 - x} < 0$

Bước 2.4.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{x + | 2 x - 1 | - 2}{2 - x} < 0$

Bước 3

Tìm tất cả các giá trị mà tại đó biểu thức chuyển từ âm sang dương bằng cách đặt từng thừa số bằng $0$ và giải.

$x + | 2 x - 1 | - 2 = 0$

$2 - x = 0$

Bước 4

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $| 2 x - 1 |$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Trừ $x$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$| 2 x - 1 | - 2 = - x$

Bước 4.2

Cộng $2$ cho cả hai vế của phương trình.

$| 2 x - 1 | = - x + 2$

Bước 5

Loại bỏ số hạng chứa giá trị tuyệt đối. Điều này tạo ra một $\pm$ ở vế phải của phương trình vì $| x | = \pm x$ .

$2 x - 1 = \pm (- x + 2)$

Bước 6

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của $\pm$ để tìm đáp án đầu tiên.

$2 x - 1 = - x + 2$

Bước 6.2

Di chuyển tất cả các số hạng chứa $x$ sang vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Cộng $x$ cho cả hai vế của phương trình.

$2 x - 1 + x = 2$

Bước 6.2.2

Cộng $2 x$ và $x$ .

$3 x - 1 = 2$

Bước 6.3

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $x$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$3 x = 2 + 1$

Bước 6.3.2

Cộng $2$ và $1$ .

$3 x = 3$

Bước 6.4

Chia mỗi số hạng trong $3 x = 3$ cho $3$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.1

Chia mỗi số hạng trong $3 x = 3$ cho $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{3}{3}$

Bước 6.4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 x}{3} = \frac{3}{3}$

Bước 6.4.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{3}{3}$

Bước 6.4.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.3.1

Chia $3$ cho $3$ .

$x = 1$

Bước 6.5

Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của $\pm$ để tìm đáp án thứ hai.

$2 x - 1 = - (- x + 2)$

Bước 6.6

Rút gọn $- (- x + 2)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.6.1

Viết lại.

$2 x - 1 = 0 + 0 - (- x + 2)$

Bước 6.6.2

Rút gọn bằng cách cộng các số 0.

$2 x - 1 = - (- x + 2)$

Bước 6.6.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$2 x - 1 = - - x - 1 \cdot 2$

Bước 6.6.4

Nhân $- - x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.6.4.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$2 x - 1 = 1 x - 1 \cdot 2$

Bước 6.6.4.2

Nhân $x$ với $1$ .

$2 x - 1 = x - 1 \cdot 2$

Bước 6.6.5

Nhân $- 1$ với $2$ .

$2 x - 1 = x - 2$

Bước 6.7

Di chuyển tất cả các số hạng chứa $x$ sang vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.7.1

Trừ $x$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$2 x - 1 - x = - 2$

Bước 6.7.2

Trừ $x$ khỏi $2 x$ .

$x - 1 = - 2$

Bước 6.8

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $x$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.8.1

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = - 2 + 1$

Bước 6.8.2

Cộng $- 2$ và $1$ .

$x = - 1$

Bước 6.9

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

$x = 1, - 1$

Bước 7

Trừ $2$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- x = - 2$

Bước 8

Chia mỗi số hạng trong $- x = - 2$ cho $- 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Chia mỗi số hạng trong $- x = - 2$ cho $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Bước 8.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Bước 8.2.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{- 2}{- 1}$

Bước 8.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Chia $- 2$ cho $- 1$ .

$x = 2$

Bước 9

Giải tìm từng thừa số để tìm các giá trị mà giá trị tuyệt đối của biểu thức đi từ âm sang dương.

$x = 1, - 1$

$x = 2$

Bước 10

Hợp nhất các đáp án.

$x = 1, - 1, 2$

Bước 11

Tìm tập xác định của $\frac{x + | 2 x - 1 | - 2}{2 - x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Đặt mẫu số trong $\frac{x + | 2 x - 1 | - 2}{2 - x}$ bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$2 - x = 0$

Bước 11.2

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1

Trừ $2$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- x = - 2$

Bước 11.2.2

Chia mỗi số hạng trong $- x = - 2$ cho $- 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.2.1

Chia mỗi số hạng trong $- x = - 2$ cho $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Bước 11.2.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.2.2.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Bước 11.2.2.2.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{- 2}{- 1}$

Bước 11.2.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.2.3.1

Chia $- 2$ cho $- 1$ .

$x = 2$

Bước 11.3

Tập xác định là tất cả các giá trị của $x$ và làm cho biểu thức xác định.

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Bước 12

Sử dụng mỗi nghiệm để tạo các khoảng kiểm định.

$x < - 1$

$- 1 < x < 1$

$1 < x < 2$

$x > 2$

Bước 13

Chọn một giá trị kiểm định từ mỗi khoảng và điền giá trị này vào bất đẳng thức ban đầu để xác định khoảng nào thỏa mãn bất đẳng thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $x < - 1$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1.1

Chọn một giá trị trên khoảng $x < - 1$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = - 4$

Bước 13.1.2

Thay thế $x$ bằng $- 4$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\frac{| 2 (- 4) - 1 |}{2 - (- 4)} < 1$

Bước 13.1.3

Vế trái $1.5$ không nhỏ hơn vế phải $1$ , có nghĩa là câu đã cho sai.

False

Bước 13.2

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $- 1 < x < 1$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.2.1

Chọn một giá trị trên khoảng $- 1 < x < 1$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 0$

Bước 13.2.2

Thay thế $x$ bằng $0$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\frac{| 2 (0) - 1 |}{2 - (0)} < 1$

Bước 13.2.3

Vế trái $0.5$ nhỏ hơn vế phải $1$ , có nghĩa là câu đã cho luôn đúng.

True

Bước 13.3

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $1 < x < 2$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.3.1

Chọn một giá trị trên khoảng $1 < x < 2$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 1.5$

Bước 13.3.2

Thay thế $x$ bằng $1.5$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\frac{| 2 (1.5) - 1 |}{2 - (1.5)} < 1$

Bước 13.3.3

Vế trái $4$ không nhỏ hơn vế phải $1$ , có nghĩa là câu đã cho sai.

False

Bước 13.4

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $x > 2$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.4.1

Chọn một giá trị trên khoảng $x > 2$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 4$

Bước 13.4.2

Thay thế $x$ bằng $4$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\frac{| 2 (4) - 1 |}{2 - (4)} < 1$

Bước 13.4.3

Vế trái $- 3.5$ nhỏ hơn vế phải $1$ , có nghĩa là câu đã cho luôn đúng.

True

Bước 13.5

So sánh các khoảng để xác định khoảng nào thỏa mãn bất phương trình ban đầu.

$x < - 1$ Sai

$- 1 < x < 1$ Đúng

$1 < x < 2$ Sai

$x > 2$ Đúng

$x < - 1$ Sai

$- 1 < x < 1$ Đúng

$1 < x < 2$ Sai

$x > 2$ Đúng

Bước 14

Đáp án bao gồm tất cả các khoảng thực sự.

$- 1 < x < 1$ hoặc $x > 2$

Bước 15

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng bất đẳng thức:

$- 1 < x < 1 or x > 2$

Ký hiệu khoảng:

$(- 1, 1) \cup (2, \infty)$

Bước 16