Giải tích Ví dụ

$y = \frac{1}{2 \sqrt{2 x - x^{2}}}$

Bước 1

Viết lại phương trình ở dạng $\frac{1}{2 \sqrt{2 x - x^{2}}} = y$ .

$\frac{1}{2 \sqrt{2 x - x^{2}}} = y$

Bước 2

Nhân chéo.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Nhân chéo bằng cách đặt tích của tử số ở vế phải và mẫu số ở vế trái bằng với tích của tử số ở vế trái và mẫu số ở vế phải.

$y \cdot (2 \sqrt{2 x - x^{2}}) = 1$

Bước 2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Rút gọn $y \cdot (2 \sqrt{2 x - x^{2}})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$2 y \sqrt{2 x - x^{2}} = 1$

Bước 2.2.1.2

Đưa $x$ ra ngoài $2 x - x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.2.1

Đưa $x$ ra ngoài $2 x$ .

$2 y \sqrt{x \cdot 2 - x^{2}} = 1$

Bước 2.2.1.2.2

Đưa $x$ ra ngoài $- x^{2}$ .

$2 y \sqrt{x \cdot 2 + x (- x)} = 1$

Bước 2.2.1.2.3

Đưa $x$ ra ngoài $x \cdot 2 + x (- x)$ .

$2 y \sqrt{x (2 - x)} = 1$

Bước 3

Để loại bỏ dấu căn ở vế trái của phương trình, ta bình phương cả hai vế của phương trình.

${(2 y \sqrt{x (2 - x)})}^{2} = 1^{2}$

Bước 4

Rút gọn mỗi vế của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x (2 - x)}$ ở dạng ${(x (2 - x))}^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 y {(x (2 - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 1^{2}$

Bước 4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Rút gọn ${(2 y {(x (2 - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1

Rút gọn bằng cách nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

${(2 y {(x \cdot 2 + x (- x))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 1^{2}$

Bước 4.2.1.1.2

Sắp xếp lại.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1.2.1

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $x$ .

${(2 y {(2 \cdot x + x (- x))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 1^{2}$

Bước 4.2.1.1.2.2

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

${(2 y {(2 \cdot x - x \cdot x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 1^{2}$

Bước 4.2.1.2

Nhân $x$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.2.1

Di chuyển $x$ .

${(2 y {(2 x - (x \cdot x))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 1^{2}$

Bước 4.2.1.2.2

Nhân $x$ với $x$ .

${(2 y {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 1^{2}$

Bước 4.2.1.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ để phân phối các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.3.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $2 y {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 y)}^{2} {({(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 1^{2}$

Bước 4.2.1.3.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $2 y$ .

$2^{2} y^{2} {({(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 1^{2}$

Bước 4.2.1.4

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$4 y^{2} {({(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 1^{2}$

Bước 4.2.1.5

Nhân các số mũ trong ${({(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.5.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 y^{2} {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 1^{2}$

Bước 4.2.1.5.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.5.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$4 y^{2} {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 1^{2}$

Bước 4.2.1.5.2.2

Viết lại biểu thức.

$4 y^{2} {(2 x - x^{2})}^{1} = 1^{2}$

Bước 4.2.1.6

Rút gọn.

$4 y^{2} (2 x - x^{2}) = 1^{2}$

Bước 4.2.1.7

Rút gọn bằng cách nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.7.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$4 y^{2} (2 x) + 4 y^{2} (- x^{2}) = 1^{2}$

Bước 4.2.1.7.2

Sắp xếp lại.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.7.2.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$4 \cdot 2 y^{2} x + 4 y^{2} (- x^{2}) = 1^{2}$

Bước 4.2.1.7.2.2

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$4 \cdot 2 y^{2} x + 4 \cdot - 1 y^{2} x^{2} = 1^{2}$

Bước 4.2.1.8

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.8.1

Nhân $4$ với $2$ .

$8 y^{2} x + 4 \cdot - 1 y^{2} x^{2} = 1^{2}$

Bước 4.2.1.8.2

Nhân $4$ với $- 1$ .

$8 y^{2} x - 4 y^{2} x^{2} = 1^{2}$

Bước 4.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$8 y^{2} x - 4 y^{2} x^{2} = 1$

Bước 5

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$8 y^{2} x - 4 y^{2} x^{2} - 1 = 0$

Bước 5.2

Sử dụng công thức bậc hai để tìm các đáp án.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Bước 5.3

Thay các giá trị $a = - 4 y^{2}$ , $b = 8 y^{2}$ , và $c = - 1$ vào công thức bậc hai và giải tìm $x$ .

$\frac{- 8 y^{2} \pm \sqrt{{(8 y^{2})}^{2} - 4 \cdot (- 4 y^{2} \cdot - 1)}}{2 (- 4 y^{2})}$

Bước 5.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1.1

Viết lại $- 4 \cdot - 4 y^{2}$ ở dạng ${(4 y)}^{2}$ .

$x = \frac{- 8 y^{2} \pm \sqrt{{(8 y^{2})}^{2} - {(4 y)}^{2}}}{2 (- 4 y^{2})}$

Bước 5.4.1.2

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = 8 y^{2}$ và $b = 4 y$ .

$x = \frac{- 8 y^{2} \pm \sqrt{(8 y^{2} + 4 y) (8 y^{2} - (4 y))}}{2 (- 4 y^{2})}$

Bước 5.4.1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1.3.1

Đưa $4 y$ ra ngoài $8 y^{2} + 4 y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1.3.1.1

Đưa $4 y$ ra ngoài $8 y^{2}$ .

$x = \frac{- 8 y^{2} \pm \sqrt{(4 y (2 y) + 4 y) (8 y^{2} - (4 y))}}{2 (- 4 y^{2})}$

Bước 5.4.1.3.1.2

Đưa $4 y$ ra ngoài $4 y$ .

$x = \frac{- 8 y^{2} \pm \sqrt{(4 y (2 y) + 4 y (1)) (8 y^{2} - (4 y))}}{2 (- 4 y^{2})}$

Bước 5.4.1.3.1.3

Đưa $4 y$ ra ngoài $4 y (2 y) + 4 y (1)$ .

$x = \frac{- 8 y^{2} \pm \sqrt{4 y (2 y + 1) (8 y^{2} - (4 y))}}{2 (- 4 y^{2})}$

Bước 5.4.1.3.2

Nhân $4$ với $- 1$ .

$x = \frac{- 8 y^{2} \pm \sqrt{4 y (2 y + 1) (8 y^{2} - 4 y)}}{2 (- 4 y^{2})}$

Bước 5.4.1.4

Đưa $4 y$ ra ngoài $8 y^{2} - 4 y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1.4.1

Đưa $4 y$ ra ngoài $8 y^{2}$ .

$x = \frac{- 8 y^{2} \pm \sqrt{4 y (2 y + 1) (4 y (2 y) - 4 y)}}{2 (- 4 y^{2})}$

Bước 5.4.1.4.2

Đưa $4 y$ ra ngoài $- 4 y$ .

$x = \frac{- 8 y^{2} \pm \sqrt{4 y (2 y + 1) (4 y (2 y) + 4 y (- 1))}}{2 (- 4 y^{2})}$

Bước 5.4.1.4.3

Đưa $4 y$ ra ngoài $4 y (2 y) + 4 y (- 1)$ .

$x = \frac{- 8 y^{2} \pm \sqrt{4 y (2 y + 1) (4 y (2 y - 1))}}{2 (- 4 y^{2})}$

$x = \frac{- 8 y^{2} \pm \sqrt{4 y (2 y + 1) \cdot (4 y (2 y - 1))}}{2 (- 4 y^{2})}$

Bước 5.4.1.5

Kết hợp các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1.5.1

Nhân $4$ với $4$ .

$x = \frac{- 8 y^{2} \pm \sqrt{16 y (2 y + 1) y (2 y - 1)}}{2 (- 4 y^{2})}$

Bước 5.4.1.5.2

Nâng $y$ lên lũy thừa $1$ .

$x = \frac{- 8 y^{2} \pm \sqrt{16 (y \cdot y) (2 y + 1) (2 y - 1)}}{2 (- 4 y^{2})}$

Bước 5.4.1.5.3

Nâng $y$ lên lũy thừa $1$ .

$x = \frac{- 8 y^{2} \pm \sqrt{16 (y \cdot y) (2 y + 1) (2 y - 1)}}{2 (- 4 y^{2})}$

Bước 5.4.1.5.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$x = \frac{- 8 y^{2} \pm \sqrt{16 y^{1 + 1} (2 y + 1) (2 y - 1)}}{2 (- 4 y^{2})}$

Bước 5.4.1.5.5

Cộng $1$ và $1$ .

$x = \frac{- 8 y^{2} \pm \sqrt{16 y^{2} (2 y + 1) (2 y - 1)}}{2 (- 4 y^{2})}$

Bước 5.4.1.6

Viết lại $16 y^{2} (2 y + 1) (2 y - 1)$ ở dạng ${(4 y)}^{2} ((2 y + 1) (2 y - 1))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1.6.1

Viết lại $16$ ở dạng $4^{2}$ .

$x = \frac{- 8 y^{2} \pm \sqrt{4^{2} y^{2} (2 y + 1) (2 y - 1)}}{2 (- 4 y^{2})}$

Bước 5.4.1.6.2

Viết lại $4^{2} y^{2}$ ở dạng ${(4 y)}^{2}$ .

$x = \frac{- 8 y^{2} \pm \sqrt{{(4 y)}^{2} (2 y + 1) (2 y - 1)}}{2 (- 4 y^{2})}$

Bước 5.4.1.6.3

Thêm các dấu ngoặc đơn.

$x = \frac{- 8 y^{2} \pm \sqrt{{(4 y)}^{2} ((2 y + 1) (2 y - 1))}}{2 (- 4 y^{2})}$

Bước 5.4.1.7

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$x = \frac{- 8 y^{2} \pm 4 y \sqrt{(2 y + 1) (2 y - 1)}}{2 (- 4 y^{2})}$

Bước 5.4.2

Nhân $- 4$ với $2$ .

$x = \frac{- 8 y^{2} \pm 4 y \sqrt{(2 y + 1) (2 y - 1)}}{- 8 y^{2}}$

Bước 5.4.3

Rút gọn $\frac{- 8 y^{2} \pm 4 y \sqrt{(2 y + 1) (2 y - 1)}}{- 8 y^{2}}$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{(2 y + 1) (2 y - 1)}}{2 y}$

Bước 5.5

Câu trả lời cuối cùng là sự kết hợp của cả hai đáp án.

$x = \frac{2 y + \sqrt{(2 y + 1) (2 y - 1)}}{2 y}$

$x = \frac{2 y - \sqrt{(2 y + 1) (2 y - 1)}}{2 y}$

$x = \frac{2 y + \sqrt{(2 y + 1) (2 y - 1)}}{2 y}$

$x = \frac{2 y - \sqrt{(2 y + 1) (2 y - 1)}}{2 y}$