Giải tích Ví dụ

$6 k^{3} - 5 k^{2} < 4 k$

Bước 1

Trừ $4 k$ khỏi cả hai vế của bất đẳng thức.

$6 k^{3} - 5 k^{2} - 4 k < 0$

Bước 2

Quy đổi bất đẳng thức sang một phương trình.

$6 k^{3} - 5 k^{2} - 4 k = 0$

Bước 3

Phân tích vế trái của phương trình thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Đưa $k$ ra ngoài $6 k^{3} - 5 k^{2} - 4 k$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Đưa $k$ ra ngoài $6 k^{3}$ .

$k (6 k^{2}) - 5 k^{2} - 4 k = 0$

Bước 3.1.2

Đưa $k$ ra ngoài $- 5 k^{2}$ .

$k (6 k^{2}) + k (- 5 k) - 4 k = 0$

Bước 3.1.3

Đưa $k$ ra ngoài $- 4 k$ .

$k (6 k^{2}) + k (- 5 k) + k \cdot - 4 = 0$

Bước 3.1.4

Đưa $k$ ra ngoài $k (6 k^{2}) + k (- 5 k)$ .

$k (6 k^{2} - 5 k) + k \cdot - 4 = 0$

Bước 3.1.5

Đưa $k$ ra ngoài $k (6 k^{2} - 5 k) + k \cdot - 4$ .

$k (6 k^{2} - 5 k - 4) = 0$

Bước 3.2

Phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Phân tích thành thừa số bằng cách nhóm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1

Đối với đa thức có dạng $a x^{2} + b x + c$ , hãy viết lại số hạng ở giữa là tổng của hai số hạng có tích là $a \cdot c = 6 \cdot - 4 = - 24$ và có tổng là $b = - 5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1.1

Đưa $- 5$ ra ngoài $- 5 k$ .

$k (6 k^{2} - 5 k - 4) = 0$

Bước 3.2.1.1.2

Viết lại $- 5$ ở dạng $3$ cộng $- 8$

$k (6 k^{2} + (3 - 8) k - 4) = 0$

Bước 3.2.1.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$k (6 k^{2} + 3 k - 8 k - 4) = 0$

Bước 3.2.1.2

Đưa ước số chung lớn nhất từ từng nhóm ra ngoài.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.2.1

Nhóm hai số hạng đầu tiên và hai số hạng cuối.

$k ((6 k^{2} + 3 k) - 8 k - 4) = 0$

Bước 3.2.1.2.2

Đưa ước số chung lớn nhất (ƯCLN) từ từng nhóm ra ngoài.

$k (3 k (2 k + 1) - 4 (2 k + 1)) = 0$

Bước 3.2.1.3

Phân tích đa thức thành thừa số bằng cách đưa ước số chung lớn nhất ra ngoài, $2 k + 1$ .

$k ((2 k + 1) (3 k - 4)) = 0$

Bước 3.2.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn không cần thiết.

$k (2 k + 1) (3 k - 4) = 0$

Bước 4

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$k = 0$

$2 k + 1 = 0$

$3 k - 4 = 0$

Bước 5

Đặt $k$ bằng với $0$ .

$k = 0$

Bước 6

Đặt $2 k + 1$ bằng $0$ và giải tìm $k$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Đặt $2 k + 1$ bằng với $0$ .

$2 k + 1 = 0$

Bước 6.2

Giải $2 k + 1 = 0$ để tìm $k$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$2 k = - 1$

Bước 6.2.2

Chia mỗi số hạng trong $2 k = - 1$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1

Chia mỗi số hạng trong $2 k = - 1$ cho $2$ .

$\frac{2 k}{2} = \frac{- 1}{2}$

Bước 6.2.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 k}{2} = \frac{- 1}{2}$

Bước 6.2.2.2.1.2

Chia $k$ cho $1$ .

$k = \frac{- 1}{2}$

Bước 6.2.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.3.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$k = - \frac{1}{2}$

Bước 7

Đặt $3 k - 4$ bằng $0$ và giải tìm $k$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Đặt $3 k - 4$ bằng với $0$ .

$3 k - 4 = 0$

Bước 7.2

Giải $3 k - 4 = 0$ để tìm $k$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Cộng $4$ cho cả hai vế của phương trình.

$3 k = 4$

Bước 7.2.2

Chia mỗi số hạng trong $3 k = 4$ cho $3$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.2.1

Chia mỗi số hạng trong $3 k = 4$ cho $3$ .

$\frac{3 k}{3} = \frac{4}{3}$

Bước 7.2.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 k}{3} = \frac{4}{3}$

Bước 7.2.2.2.1.2

Chia $k$ cho $1$ .

$k = \frac{4}{3}$

Bước 8

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $k (2 k + 1) (3 k - 4) = 0$ đúng.

$k = 0, - \frac{1}{2}, \frac{4}{3}$

Bước 9

Sử dụng mỗi nghiệm để tạo các khoảng kiểm định.

$k < - \frac{1}{2}$

$- \frac{1}{2} < k < 0$

$0 < k < \frac{4}{3}$

$k > \frac{4}{3}$

Bước 10

Chọn một giá trị kiểm định từ mỗi khoảng và điền giá trị này vào bất đẳng thức ban đầu để xác định khoảng nào thỏa mãn bất đẳng thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $k < - \frac{1}{2}$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1.1

Chọn một giá trị trên khoảng $k < - \frac{1}{2}$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$k = - 3$

Bước 10.1.2

Thay thế $k$ bằng $- 3$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$6 {(- 3)}^{3} - 5 {(- 3)}^{2} < 4 (- 3)$

Bước 10.1.3

Vế trái $- 207$ nhỏ hơn vế phải $- 12$ , có nghĩa là câu đã cho luôn đúng.

True

Bước 10.2

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $- \frac{1}{2} < k < 0$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.1

Chọn một giá trị trên khoảng $- \frac{1}{2} < k < 0$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$k = - 0.25$

Bước 10.2.2

Thay thế $k$ bằng $- 0.25$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$6 {(- 0.25)}^{3} - 5 {(- 0.25)}^{2} < 4 (- 0.25)$

Bước 10.2.3

Vế trái $- 0.40625$ không nhỏ hơn vế phải $- 1$ , có nghĩa là câu đã cho sai.

False

Bước 10.3

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $0 < k < \frac{4}{3}$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.3.1

Chọn một giá trị trên khoảng $0 < k < \frac{4}{3}$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$k = 1$

Bước 10.3.2

Thay thế $k$ bằng $1$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$6 {(1)}^{3} - 5 {(1)}^{2} < 4 (1)$

Bước 10.3.3

Vế trái $1$ nhỏ hơn vế phải $4$ , có nghĩa là câu đã cho luôn đúng.

True

Bước 10.4

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $k > \frac{4}{3}$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.4.1

Chọn một giá trị trên khoảng $k > \frac{4}{3}$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$k = 4$

Bước 10.4.2

Thay thế $k$ bằng $4$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$6 {(4)}^{3} - 5 {(4)}^{2} < 4 (4)$

Bước 10.4.3

Vế trái $304$ không nhỏ hơn vế phải $16$ , có nghĩa là câu đã cho sai.

False

Bước 10.5

So sánh các khoảng để xác định khoảng nào thỏa mãn bất phương trình ban đầu.

$k < - \frac{1}{2}$ Đúng

$- \frac{1}{2} < k < 0$ Sai

$0 < k < \frac{4}{3}$ Đúng

$k > \frac{4}{3}$ Sai

$k < - \frac{1}{2}$ Đúng

$- \frac{1}{2} < k < 0$ Sai

$0 < k < \frac{4}{3}$ Đúng

$k > \frac{4}{3}$ Sai

Bước 11

Đáp án bao gồm tất cả các khoảng thực sự.

$k < - \frac{1}{2}$ hoặc $0 < k < \frac{4}{3}$

Bước 12

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng bất đẳng thức:

$k < - \frac{1}{2} or 0 < k < \frac{4}{3}$

Ký hiệu khoảng:

$(- \infty, - \frac{1}{2}) \cup (0, \frac{4}{3})$

Bước 13