Giải tích Ví dụ

cot (arccos (x))

$\cot (\arccos (x))$

Bước 1

Vẽ một hình tam giác trong mặt phẳng với các đỉnh

(x, \sqrt{1^{2} - x^{2}})

$(x, \sqrt{1^{2} - x^{2}})$ ,

(x, 0)

$(x, 0)$ , và gốc tọa độ. Khi đó

arccos (x)

$\arccos (x)$ là góc giữa trục x dương và tia bắt đầu tại điểm gốc tọa độ và đi qua

(x, \sqrt{1^{2} - x^{2}})

$(x, \sqrt{1^{2} - x^{2}})$ . Do đó,

cot (arccos (x))

$\cot (\arccos (x))$ là

\frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}}

$\frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ .

\frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}}

$\frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

Bước 2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Viết lại

1

$1$ ở dạng

1^{2}

$1^{2}$ .

\frac{x}{\sqrt{1^{2} - x^{2}}}

$\frac{x}{\sqrt{1^{2} - x^{2}}}$

Bước 2.2

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương,

a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó

a = 1

$a = 1$ và

b = x

$b = x$ .

\frac{x}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}

$\frac{x}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$

\frac{x}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}

$\frac{x}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$

Bước 3

Nhân

\frac{x}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}

$\frac{x}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ với

\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}

$\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ .

\frac{x}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}} \cdot \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}

$\frac{x}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}} \cdot \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$

Bước 4

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Nhân

\frac{x}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}

$\frac{x}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ với

\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}

$\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ .

\frac{x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}

$\frac{x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$

Bước 4.2

Nâng

\sqrt{(1 + x) (1 - x)}

$\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ lên lũy thừa

1

$1$ .

\frac{x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}

$\frac{x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$

Bước 4.3

Nâng

\sqrt{(1 + x) (1 - x)}

$\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ lên lũy thừa

1

$1$ .

\frac{x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1} {\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1}}

$\frac{x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1} {\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1}}$

Bước 4.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

\frac{x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1 + 1}}

$\frac{x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1 + 1}}$

Bước 4.5

Cộng

1

$1$ và

1

$1$ .

\frac{x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}}

$\frac{x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}}$

Bước 4.6

Viết lại

{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}

${\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}$ ở dạng

(1 + x) (1 - x)

$(1 + x) (1 - x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.1

Sử dụng

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại

\sqrt{(1 + x) (1 - x)}

$\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ ở dạng

{((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}}

${((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}}$ .

\frac{x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{({((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}

$\frac{x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{({((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Bước 4.6.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

\frac{x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}

$\frac{x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Bước 4.6.3

Kết hợp

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ và

2

$2$ .

\frac{x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}}}

$\frac{x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}}}$

Bước 4.6.4

Triệt tiêu thừa số chung

2

$2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}}}$

Bước 4.6.4.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{1}}$

Bước 4.6.5

Rút gọn.

$\frac{x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}$