Giải tích Ví dụ

${(x^{2} + y^{2})}^{\frac{3}{2}}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{\frac{3}{2}}$ và $g (x) = x^{2} + y^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x^{2} + y^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{3}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{2} u^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Bước 1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{2} + y^{2}$ .

$\frac{3}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Bước 2

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Bước 3

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Bước 4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{3}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Bước 5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{3}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{3 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Bước 5.2

Trừ $2$ khỏi $3$ .

$\frac{3}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Bước 6

Kết hợp $\frac{3}{2}$ và ${(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Bước 7

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} + y^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{3 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Bước 8

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{3 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2} (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Bước 9

Vì $y^{2}$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $y^{2}$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{3 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2} (2 x + 0)$

Bước 10

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Cộng $2 x$ và $0$ .

$\frac{3 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2} (2 x)$

Bước 10.2

Kết hợp $2$ và $\frac{3 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{2 (3 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}{2} x$

Bước 10.3

Nhân $3$ với $2$ .

$\frac{6 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2} x$

Bước 10.4

Kết hợp $\frac{6 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2}$ và $x$ .

$\frac{6 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} x}{2}$

Bước 10.5

Đưa $2$ ra ngoài $6 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} x$ .

$\frac{2 (3 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} x)}{2}$

Bước 11

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{2 (3 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} x)}{2 (1)}$

Bước 11.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 (3 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} x)}{2 \cdot 1}$

Bước 11.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{3 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} x}{1}$

Bước 11.4

Chia $3 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} x$ cho $1$ .

$3 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} x$

Bước 12

Sắp xếp lại các thừa số của $3 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} x$ .

$3 x {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$