Giải tích Ví dụ

$\frac{e^{x} - 1 - x}{x^{2}}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = e^{x} - 1 - x$ và $g (x) = x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x} - 1 - x] - (e^{x} - 1 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Bước 2

Tính đạo hàm bằng quy tắc tổng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Nhân các số mũ trong ${(x^{2})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x} - 1 - x] - (e^{x} - 1 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

Bước 2.1.2

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x} - 1 - x] - (e^{x} - 1 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Bước 2.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $e^{x} - 1 - x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{x^{2} (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- x]) - (e^{x} - 1 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$\frac{x^{2} (e^{x} + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- x]) - (e^{x} - 1 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Bước 4

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Vì $- 1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{x^{2} (e^{x} + 0 + \frac{d}{d x} [- x]) - (e^{x} - 1 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Bước 4.2

Cộng $e^{x}$ và $0$ .

$\frac{x^{2} (e^{x} + \frac{d}{d x} [- x]) - (e^{x} - 1 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Bước 4.3

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x^{2} (e^{x} - \frac{d}{d x} [x]) - (e^{x} - 1 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Bước 4.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{x^{2} (e^{x} - 1 \cdot 1) - (e^{x} - 1 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Bước 4.5

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{x^{2} (e^{x} - 1) - (e^{x} - 1 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Bước 4.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{x^{2} (e^{x} - 1) - (e^{x} - 1 - x) (2 x)}{x^{4}}$

Bước 4.7

Rút gọn bằng cách đặt thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.7.1

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{x^{2} (e^{x} - 1) - 2 (e^{x} - 1 - x) x}{x^{4}}$

Bước 4.7.2

Đưa $x$ ra ngoài $x^{2} (e^{x} - 1) - 2 (e^{x} - 1 - x) x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.7.2.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{2} (e^{x} - 1)$ .

$\frac{x (x (e^{x} - 1)) - 2 (e^{x} - 1 - x) x}{x^{4}}$

Bước 4.7.2.2

Đưa $x$ ra ngoài $- 2 (e^{x} - 1 - x) x$ .

$\frac{x (x (e^{x} - 1)) + x (- 2 (e^{x} - 1 - x))}{x^{4}}$

Bước 4.7.2.3

Đưa $x$ ra ngoài $x (x (e^{x} - 1)) + x (- 2 (e^{x} - 1 - x))$ .

$\frac{x (x (e^{x} - 1) - 2 (e^{x} - 1 - x))}{x^{4}}$

Bước 5

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{4}$ .

$\frac{x (x (e^{x} - 1) - 2 (e^{x} - 1 - x))}{x \cdot x^{3}}$

Bước 5.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x (x (e^{x} - 1) - 2 (e^{x} - 1 - x))}{x \cdot x^{3}}$

Bước 5.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{x (e^{x} - 1) - 2 (e^{x} - 1 - x)}{x^{3}}$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{x e^{x} + x \cdot - 1 - 2 (e^{x} - 1 - x)}{x^{3}}$

Bước 6.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{x e^{x} + x \cdot - 1 - 2 e^{x} - 2 \cdot - 1 - 2 (- x)}{x^{3}}$

Bước 6.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1.1

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $x$ .

$\frac{x e^{x} - 1 \cdot x - 2 e^{x} - 2 \cdot - 1 - 2 (- x)}{x^{3}}$

Bước 6.3.1.2

Viết lại $- 1 x$ ở dạng $- x$ .

$\frac{x e^{x} - x - 2 e^{x} - 2 \cdot - 1 - 2 (- x)}{x^{3}}$

Bước 6.3.1.3

Nhân $- 2$ với $- 1$ .

$\frac{x e^{x} - x - 2 e^{x} + 2 - 2 (- x)}{x^{3}}$

Bước 6.3.1.4

Nhân $- 1$ với $- 2$ .

$\frac{x e^{x} - x - 2 e^{x} + 2 + 2 x}{x^{3}}$

Bước 6.3.2

Cộng $- x$ và $2 x$ .

$\frac{x e^{x} + x - 2 e^{x} + 2}{x^{3}}$

Bước 6.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{e^{x} x + x + 2 - 2 e^{x}}{x^{3}}$

Bước 6.5

Sắp xếp lại các thừa số trong $\frac{e^{x} x + x + 2 - 2 e^{x}}{x^{3}}$ .

$\frac{x e^{x} + x + 2 - 2 e^{x}}{x^{3}}$