Giải tích Ví dụ

$\ln (\frac{3 x + 1}{3 x - 1})$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = \frac{3 x + 1}{3 x - 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $\frac{3 x + 1}{3 x - 1}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{3 x + 1}{3 x - 1}]$

Bước 1.2

Đạo hàm của $\ln (u)$ đối với $u$ là $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{3 x + 1}{3 x - 1}]$

Bước 1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\frac{3 x + 1}{3 x - 1}$ .

$\frac{1}{\frac{3 x + 1}{3 x - 1}} \frac{d}{d x} [\frac{3 x + 1}{3 x - 1}]$

Bước 2

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{3 x + 1}{3 x - 1}$ .

$1 \frac{3 x - 1}{3 x + 1} \frac{d}{d x} [\frac{3 x + 1}{3 x - 1}]$

Bước 3

Nhân $\frac{3 x - 1}{3 x + 1}$ với $1$ .

$\frac{3 x - 1}{3 x + 1} \frac{d}{d x} [\frac{3 x + 1}{3 x - 1}]$

Bước 4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = 3 x + 1$ và $g (x) = 3 x - 1$ .

$\frac{3 x - 1}{3 x + 1} \cdot \frac{(3 x - 1) \frac{d}{d x} [3 x + 1] - (3 x + 1) \frac{d}{d x} [3 x - 1]}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Bước 5

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $3 x + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{3 x - 1}{3 x + 1} \cdot \frac{(3 x - 1) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]) - (3 x + 1) \frac{d}{d x} [3 x - 1]}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Bước 5.2

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{3 x - 1}{3 x + 1} \cdot \frac{(3 x - 1) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (3 x + 1) \frac{d}{d x} [3 x - 1]}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Bước 5.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{3 x - 1}{3 x + 1} \cdot \frac{(3 x - 1) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) - (3 x + 1) \frac{d}{d x} [3 x - 1]}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Bước 5.4

Nhân $3$ với $1$ .

$\frac{3 x - 1}{3 x + 1} \cdot \frac{(3 x - 1) (3 + \frac{d}{d x} [1]) - (3 x + 1) \frac{d}{d x} [3 x - 1]}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Bước 5.5

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{3 x - 1}{3 x + 1} \cdot \frac{(3 x - 1) (3 + 0) - (3 x + 1) \frac{d}{d x} [3 x - 1]}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Bước 5.6

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.6.1

Cộng $3$ và $0$ .

$\frac{3 x - 1}{3 x + 1} \cdot \frac{(3 x - 1) \cdot 3 - (3 x + 1) \frac{d}{d x} [3 x - 1]}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Bước 5.6.2

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $3 x - 1$ .

$\frac{3 x - 1}{3 x + 1} \cdot \frac{3 \cdot (3 x - 1) - (3 x + 1) \frac{d}{d x} [3 x - 1]}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Bước 5.7

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $3 x - 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{3 x - 1}{3 x + 1} \cdot \frac{3 (3 x - 1) - (3 x + 1) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Bước 5.8

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{3 x - 1}{3 x + 1} \cdot \frac{3 (3 x - 1) - (3 x + 1) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Bước 5.9

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{3 x - 1}{3 x + 1} \cdot \frac{3 (3 x - 1) - (3 x + 1) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Bước 5.10

Nhân $3$ với $1$ .

$\frac{3 x - 1}{3 x + 1} \cdot \frac{3 (3 x - 1) - (3 x + 1) (3 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Bước 5.11

Vì $- 1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{3 x - 1}{3 x + 1} \cdot \frac{3 (3 x - 1) - (3 x + 1) (3 + 0)}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Bước 5.12

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.12.1

Cộng $3$ và $0$ .

$\frac{3 x - 1}{3 x + 1} \cdot \frac{3 (3 x - 1) - (3 x + 1) \cdot 3}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Bước 5.12.2

Nhân $3$ với $- 1$ .

$\frac{3 x - 1}{3 x + 1} \cdot \frac{3 (3 x - 1) - 3 (3 x + 1)}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Bước 5.12.3

Nhân $\frac{3 x - 1}{3 x + 1}$ với $\frac{3 (3 x - 1) - 3 (3 x + 1)}{{(3 x - 1)}^{2}}$ .

$\frac{(3 x - 1) (3 (3 x - 1) - 3 (3 x + 1))}{(3 x + 1) {(3 x - 1)}^{2}}$

Bước 6

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Đưa $3 x - 1$ ra ngoài $(3 x + 1) {(3 x - 1)}^{2}$ .

$\frac{(3 x - 1) (3 (3 x - 1) - 3 (3 x + 1))}{(3 x - 1) ((3 x + 1) (3 x - 1))}$

Bước 6.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{(3 x - 1) (3 (3 x - 1) - 3 (3 x + 1))}{(3 x - 1) ((3 x + 1) (3 x - 1))}$

Bước 6.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{3 (3 x - 1) - 3 (3 x + 1)}{(3 x + 1) (3 x - 1)}$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{3 (3 x) + 3 \cdot - 1 - 3 (3 x + 1)}{(3 x + 1) (3 x - 1)}$

Bước 7.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{3 (3 x) + 3 \cdot - 1 - 3 (3 x) - 3 \cdot 1}{(3 x + 1) (3 x - 1)}$

Bước 7.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $3 (3 x) + 3 \cdot - 1 - 3 (3 x) - 3 \cdot 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1.1

Trừ $3 (3 x)$ khỏi $3 (3 x)$ .

$\frac{3 \cdot - 1 + 0 - 3 \cdot 1}{(3 x + 1) (3 x - 1)}$

Bước 7.3.1.2

Cộng $3 \cdot - 1$ và $0$ .

$\frac{3 \cdot - 1 - 3 \cdot 1}{(3 x + 1) (3 x - 1)}$

Bước 7.3.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.2.1

Nhân $3$ với $- 1$ .

$\frac{- 3 - 3 \cdot 1}{(3 x + 1) (3 x - 1)}$

Bước 7.3.2.2

Nhân $- 3$ với $1$ .

$\frac{- 3 - 3}{(3 x + 1) (3 x - 1)}$

Bước 7.3.3

Trừ $3$ khỏi $- 3$ .

$\frac{- 6}{(3 x + 1) (3 x - 1)}$

Bước 7.4

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{6}{(3 x + 1) (3 x - 1)}$