Giải tích Ví dụ

${({(x^{2} + 3)}^{5} + x)}^{2}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = {(x^{2} + 3)}^{5} + x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng ${(x^{2} + 3)}^{5} + x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{5} + x]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{5} + x]$

Bước 1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với ${(x^{2} + 3)}^{5} + x$ .

$2 ({(x^{2} + 3)}^{5} + x) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{5} + x]$

Bước 2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của ${(x^{2} + 3)}^{5} + x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{5}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 ({(x^{2} + 3)}^{5} + x) (\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{5}] + \frac{d}{d x} [x])$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{5}$ và $g (x) = x^{2} + 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $x^{2} + 3$ .

$2 ({(x^{2} + 3)}^{5} + x) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{5}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 3] + \frac{d}{d x} [x])$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ là $n {u_{2}}^{n - 1}$ trong đó $n = 5$ .

$2 ({(x^{2} + 3)}^{5} + x) (5 {u_{2}}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3] + \frac{d}{d x} [x])$

Bước 3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $x^{2} + 3$ .

$2 ({(x^{2} + 3)}^{5} + x) (5 {(x^{2} + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3] + \frac{d}{d x} [x])$

Bước 4

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} + 3$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$2 ({(x^{2} + 3)}^{5} + x) (5 {(x^{2} + 3)}^{4} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]) + \frac{d}{d x} [x])$

Bước 4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 ({(x^{2} + 3)}^{5} + x) (5 {(x^{2} + 3)}^{4} (2 x + \frac{d}{d x} [3]) + \frac{d}{d x} [x])$

Bước 4.3

Vì $3$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $3$ đối với $x$ là $0$ .

$2 ({(x^{2} + 3)}^{5} + x) (5 {(x^{2} + 3)}^{4} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [x])$

Bước 4.4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.1

Cộng $2 x$ và $0$ .

$2 ({(x^{2} + 3)}^{5} + x) (5 {(x^{2} + 3)}^{4} (2 x) + \frac{d}{d x} [x])$

Bước 4.4.2

Nhân $2$ với $5$ .

$2 ({(x^{2} + 3)}^{5} + x) (10 {(x^{2} + 3)}^{4} x + \frac{d}{d x} [x])$

Bước 4.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 ({(x^{2} + 3)}^{5} + x) (10 {(x^{2} + 3)}^{4} x + 1)$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$(2 {(x^{2} + 3)}^{5} + 2 x) (10 {(x^{2} + 3)}^{4} x + 1)$

Bước 5.2

Sắp xếp lại các thừa số của $(2 {(x^{2} + 3)}^{5} + 2 x) (10 {(x^{2} + 3)}^{4} x + 1)$ .

$(10 {(x^{2} + 3)}^{4} x + 1) (2 {(x^{2} + 3)}^{5} + 2 x)$